Enunciado

Seja D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n uma matriz diagonal n   x   n , isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a n 2 … a n n . (a)Mostre que o produto D A é obtido da matriz A multiplicando-se cada linha i por λ i , ou seja, se A = A 1 A 2 ⋮ A n , em que A i = a i 1 ⋮ a i n é a linha i de A , então D A = λ 1 A 1 λ 2 A 2 ⋮ λ n A n .

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo na paz? 😊

O produto entre as matrizes é dado por:

D A = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a n 2 … a n n

Passo 2

Realizando a multiplicação matricial, temos:

A D = λ 1 a 11 + a 21 0 + … + a n 1 0 λ 1 a 12 + 0 a 2 2 + … + a n 2 0 … λ 1 a 1 n + a 2 n 0 + … + 0 a n n 0 a 1 1 + λ 2 a 2 1 + … + a n 1 0 a 12 0 + λ 2 a 2 2 + … + a n 2 0 … a 1 n 0 + λ 2 a 2 n + … + 0 a n n ⋮ ⋮ … ⋮ 0 a 1 1 + a 2 1 0 + … + λ n a n 1 0 a 12 + 0 a 2 2 + … + λ n a n 2 … 0 a 1 n + 0 a 2 n + … + λ n a n n

Passo 3

Portanto, o produto matricial D A é:

D A = λ 1 A 1 λ 2 A 2 ⋮ λ n A n

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Prove: se k ≠ 0 , então A e k A têm o mesmo posto.