Enunciado

Seja A uma matriz n   x   n . Para k = 1 , … , n , seja A k a submatriz obtida de A eliminando-se as últimas n - k linhas e colunas. A k é chamada submatriz principal de A de ordem k . Mostre que se A é uma matriz simétrica definida positiva n   x   n , então

a) A é não regular;

b) det ⁡ ( A ) > 0 ;

c) as submatrizes principais A 1 , … , A n são todas definidas positivas.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos seja A uma matriz n   x   n . Para k = 1 , … , n , seja A k a submatriz obtida de A eliminando-se as últimas n - k linhas e colunas. A k é chamada submatriz principal de A de ordem k . Mostre que se A é uma matriz simétrica definida positiva n   x   n , então

a) A é não regular;

b) det ⁡ ( A ) > 0 ;

c) as submatrizes principais A 1 , … , A n são todas definidas positivas.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que a matriz A é uma matriz   n   x   n , com k = 1 , … , n sendo A k uma submatriz obtida vamos ter que,

Na letra (a) para A ser não singular temos,

x 1 p D p t x → x ' t D x ' = p '

Na letra (b) para determinar o det ⁡ ( A ) > 0 , vamos ter,

P t = det ⁡ ( A - t I 3 )

Ficando,

A - λ I 3 = 0 -         e       A - λ 2 I 3 x = 0 -

E por fim na letra ( c ) sendo as submatrizes principais representadas por A 1 , … , A n , temos que

A 1 1 , … ,   A n 1 1 , … , A 1 k , … , A n k k

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) x ' t D x ' = p '

b) A - λ I 3 = 0 -         e       A - λ 2 I 3 x = 0 -

c) A 1 1 , … ,   A n 1 1 , … , A 1 k , … , A n k k

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Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:⎜ 1 2 3 ⎜⎜ ⎜⎜ 0 - 1 2 ⎜⎜ ⎜⎜ 0 0 2 ⎜⎜ ⎜
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