Enunciado

Seja a a 0 0 a a b 4 2 2 4 b a matriz de um sistema linear. Encontre os valores de a e b com os quais o sistema tem uma solução a um parâmetro.

Passo 1

Nesse problema, vamos trabalhar valores atribuídos à parâmetros para que satisfaçam uma condição.

Primeiramente, vamos escalonar a matriz dada:

a a 0 0 a a b 4 2 2 4 b     → L 2 → L 2 - L 1       a 0 0 0 a a b 4 - b 2 2 2 b

a 0 0 0 a a b 4 - b 2 2 2 b     → L 1 → 1 a L 1       1 0 0 0 a a b / a 4 - b 2 2 / a 2 b

1 0 0 0 a a b / a 4 - b 2 2 / a 2 b     → L 3 → L 3 - L 2   1 0 0 0 a 0 b / a 4 - b b - 2 2 / a 2 b - 2

1 0 0 0 a 0 b / a 4 - b b - 2 2 / a 2 b - 2     → L 2 → 1 a L 2       1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a b - 2 2 / a 2 / a b - 2

1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a b - 2 2 / a 2 / a b - 2     → L 3 → 1 b - 2 L 3       1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a 1 2 / a 2 / a 1

Passo 2

Para que o sistema linear representado pela matriz a a 0 0 a a b 4 2 2 4 b tnha uma solução em um parâmetro, devemos ter uma linha completamente nula. Vendo a matriz escalonada 1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a b - 2 2 / a 2 / a b - 2 vemos que o primeiro valor restritivo é quando a ≠ 0 pois a é denominador na primeira e segunda linhas.

Passo 3

Agora, para zerar a terceira linha, temos que tomar b - 2 = 0 . Logo, b = 0

Resposta

Portanto, a ≠ 0 e b = 2

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