Enunciado

Seja A ∈ L   ( R 3 ) o operador linear cuja matriz relativa à base canônica é

( a i j ) = 2 2 0 2 - 1 0 0 0 2

a) Achar os valores próprios de A.

b) Achar uma matriz ortonormal do R 3 em relação à qual a matriz de A é diagonal.

c) Achar uma matriz M ortogonal ( M - 1 = M t ) tal que M t ( a i j ) M é a matriz diagonal obtida em b)

Passo 1

Temos a matriz

2 2 0 2 - 1 0 0 0 2

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 λ

Em b para descobrir a matriz ortonormal, precisaremos dos vetores próprios da matriz. Já a letra c precisamor aplicar na matriz diagonal

Passo 2

a) Vamos subtrair

2 2 0 2 - 1 0 0 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 2 - λ 2 0 2 - 1 - λ 0 0 0 2 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!

2 - λ 2 0 2 - 1 - λ 0 0 0 2 - λ 2 - λ 2 2 - 1 - λ 0 0

Assim

2 - λ - 1 - λ 2 - λ - 4 2 - λ = 0 →   3 λ 2 - 12 - λ 3 + λ = 0

E encontramos os valores próprios igualando a zero, assim

λ 1 = 3 ,     λ 2 = - 2 ,     λ 3 = 2    

Passo 3

b) Agora vamos pro vetor próprio usando λ 1 = 3

2 - λ 2 0 2 - 1 - λ 0 0 0 2 - λ ∼   - 1 2 0 2 - 4 0 0 0 - 1

Colocando no sisteminha de equações

- 1 2 0 2 - 4 0 0 0 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Simplificando

1 2 0 0 2 - 4 0 0 0 0 - 1 0 ∼ 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Então

x 1 + x 2 = 0 x 2 = t x 3 = 0 → x 1 = - t x 2 = t x 3 = 0

Logo o vetor é

- 1 1 0

Passo 4

Vamos pro vetor próprio usando λ 2 = - 2

2 - λ 2 0 2 - 1 - λ 0 0 0 2 - λ ∼   4 2 0 2 1 0 0 0 4

Colocando no sisteminha de equações

4 2 0 2 1 0 0 0 4 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Simplificando

4 2 0 0 2 1 0 0 0 0 4 0 ∼ 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Então

2 x 1 + x 2 = 0 x 1 = t x 3 = 0 → x 1 = t x 2 = 2 t x 3 = 0

Logo o vetor é

1 2 0

Passo 5

Vamos pro vetor próprio usando λ 3 = 2

2 - λ 2 0 2 - 1 - λ 0 0 0 2 - λ ∼   0 2 0 2 - 3 0 0 0 0

Colocando no sisteminha de equações

0 2 0 2 - 3 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Simplificando

0 2 0 0 2 - 3 0 0 0 0 0 0 ∼ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Então

x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = t

Logo o vetor é

0 0 1

Passo 6

O vetor para λ 1 = 3 é

- 1 1 0

E sua normalização

1 u = - 1 1 0 → 1 - 1 2 + 1 2 - 1 1 0 → - 1 2 1 2 0

O vetor para λ 2 = - 2 é

1 2 0

E sua normalização

1 u = 1 2 0   →   1 1 2 + 2 2 1 2 0   → 1 5 2 5 0

O vetor para λ 3 = 2 é

0 0 1

E sua normalização

1 u 0 0 1 →   1 1 2 0 0 1 → 0 0 1

Assim, os autovalores

3 0 0 0 - 2 0 0 0 2

Então a matriz de mudança da base canônica é

- 1 2 1 5 0 1 2 2 5 0 0 0 1

Passo 7

c. Nós já temos a matriz M ortogonal ( M - 1 = M t ) , ela é caracterizada pelos autovalores, ou seja,

3 0 0 0 - 2 0 0 0 2

Resposta

  1. λ 1 = 3 ,     λ 2 = - 2 ,     λ 3 = 2    
  2. - 1 2 1 5 0 1 2 2 5 0 0 0 1
  3. 3 0 0 0 - 2 0 0 0 2
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