Enunciado

Seja   1 1 0 1   a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T .

Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?

Passo 1

Eaaae galera! Vamos para alguns conceitos importantes. Quando usa R 2   ele se refere ao um espaço real de 2 dimensões, beleza?

Temos a matriz

1 1 0 1

Vamos usar a formulazinha para encontrar os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

E para descobrir se é L.I. vamos descobrir o vetor próprio, para aplicar a regrinha

Passo 2

O I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 λ

Agora vamos subtrair a Matriz

1 1 0 1 - λ 0 0 λ = 1 - λ 1 0 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Ah, uma coisa importante: quando é uma matriz normal podemos escrever em parênteses (), ou em colchetes [], mas quanto é determinante deve ser escrito em barras!

1 - λ 1 0 1 - λ

Então fazendo o determinante

1 - λ 1 - λ = 0

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Você percebeu que já está fatorado? Isso quer dizer que já encontramos o valor próprio! Assim λ = 1 .

Esperaaa um momento, só temos um λ , isso quer dizer que não existem dois vetores diferentes. Beleza? Então não tem como provar que são linearmente independentes, porque

1 - λ 1 0 1 - λ ∼ 0 1 0 0

Colocando em um sistema linear

0 1 0 0 . x y = 0 0

Resolvendo o sistema

x = t y = 0

Assim o vetor é

x ,   y = t , 0 = t ( 1,0 )

Percebeu que não dá pra ser L.I. porque não existe outro vetor? É isso, pessoal! Já que não é isso, os vetores iguais vão ser linearmente dependentes, porque existem dois autovalores iguais, portanto dois vetores iguais também

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz triangular, ou seja, uma matriz A=( a i j ) tal que a i j = 0 sempre que ij (ou, ao contrário, a i j = 0 , sempre que i
Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (-x, - y);
Achar os valores e os vetores próprios do operador T do R 2 dado por:c. T ( 1 ,0 )=( 0 ,- 1 )eT ( 0 ,1 )=( 1 ,0 )
Determinar valores e vetores próprios do operador T do R 4 cuja matriz em relação à base canônica é: 3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes: 2 0 1 1 .- 1 - 1 - 3 1 .2 1 0 1e- 1 - 3 - 1 1