Enunciado

1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz

(a) 3 1 1 3 (b)   6 - 2 - 2 3

(c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23

Passo 1

E aí? Bora resolver mais essa?

Bom, precisamos encontrar a decomposição espectral:

A = λ 1 u 1 u 1 T + λ 2 u 2 u 2 T + … + λ n u n u n T

Onde:

λ - A u t o v a l o r e s ; u - a u t o v e t o r e s   n o r m a l i z a d o s

Passo 2

Precisamos dos os autovalores e autovetores:

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:

  A - λ I = 0

E vamos fazer parte, primeiro λ I :

λ I = 1 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 λ

Passo 4

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

λ I - A = 0

Agora vamos substituir os valores nela:

λ I - A = λ 0 0 λ - 6 - 2 - 2 3

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 6 2 2 λ - 3

Então:

λ - 6 2 2 λ - 3 = 0

Passo 5

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

λ - 6 2 2 λ - 3

λ - 6 ∙ λ - 3 - 4 = 0

λ 2 - 3 λ - 6 λ + 18 - 4 = 0

λ 2 - 9 λ + 14 = 0

Passo 6

Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?

Não podiam estar mais errados.

λ 2 - 9 λ + 14 = 0

λ = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

Passo 7

Calculando:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = ( - 9 ) 2 - 4 ∙ 1 ∙ 14

Δ = 25

Retornando em:

λ = - - 9 ± 25 2 ∙ 1

λ = 9 ± 5 2

Passo 8

Agora é a vez dos autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y

Logo:

A - λ I ∙ x y = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 6 2 2 λ - 3 ∙ x y = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Fácil, não!?

Passo 9

Para λ 1 = 2 :

2 - 6 2 2 2 - 3 ∙ x y = 0

- 4 2 2 - 1 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- 4 x + 2 y = 0 2 x - y = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:

- 4 x + 2 y

O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o x :

- 4 x = - 2 y

4 x = 2 y

x = 2 y 4

x = y 2

Escrevendo:

v = x y

v 1 = y 2 y

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = y ∙ 1 2 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = 1 2 1

Passo 10

Para λ 2 = 7

7 - 6 2 2 7 - 3 ∙ x y = 0

1 2 2 4 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos

x + 2 y = 0 2 x + 4 y = 0

Agora só escolher novamente uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:

x + 2 y = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o x :

x = - 2 y

Escrevendo:

v = x y

v 2 = - 2 y y

Colocando y em evidência, temos:

v 2 = y ∙ - 2 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 2 = - 2 1

Passo 11

Falta pouco!!!

Agora vamos normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 1 2 2 + 1 2 ∙ 1 2 1

u 1 = 1 1 4 + 1 ∙ 1 2 1

u 1 = 1 1 4 + 4 4 ∙ 1 2 1

u 1 = 1 5 4 ∙ 1 2 1

u 1 = 1 5 2 ∙ 1 2 1

Podemos reorganizar a fração 1 5 2 :

u 1 = 2 5 ∙ 1 2 1

u 1 = 2 2 5 2 5

u 1 = 1 5 2 5

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 - 2 2 + 1 2 ∙ - 2 1

u 2 = 1 4 + 1 ∙ - 2 1

u 2 = 1 5 ∙ - 2 1

u 2 = - 2 5 1 5

Passo 12

Último passo antes da tão sonhada decomposição espectral!!!!

Só precisamos fazer a transposta de u , só fazer linha virar coluna, e temos:

Para u 1 :

u 1 = 1 5 2 5

u 1 T = 1 5 2 5

Para u 2 :

u 2 = - 2 5 1 5

u 2 T = - 2 5 1 5

Passo 13

Você lembra da primeira equação, aquela do Passo 1!? Olha ela ali em baixo......

A = λ 1 u 1 u 1 T + λ 2 u 2 u 2 T + … + λ n u n u n T

Precisamos substituir:

A = 2 ∙ 1 5 2 5 ∙ 1 5 2 5 + 7 ∙ - 2 5 1 5 ∙ - 2 5 1 5

E realizar as multiplicações:

A = 2 ∙ 1 5 ∙ 1 5 2 5 ∙ 2 5 + 7 ∙ - 2 5 ∙ - 2 5 1 5 ∙ 1 5

Aaaaeeeeeeeeeeeeee!!! Chegamos na tão esperada decomposição espectral:

A = 2 ∙ 1 5 4 5 ∙ + 7 ∙ 4 5 1 5

Prontinho!!! Agora faltam apenas duas, bora resolver ela?

Resposta

A = 2 ∙ 1 5 4 5 ∙ + 7 ∙ 4 5 1 5

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1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz(a) 3 1 1 3 (b) 6 - 2 - 2 3 (c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23
Seja A ∈ L( R 3 ) o operador linear cuja matriz relativa à base canônica é ( a i j ) = 2 2 0 2 - 1 0 0 0 2 a) Achar os valores próprios de A. b) Achar uma matriz ortonormal do R 3 em relação à qual a