Enunciado

Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:

a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e

b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:

a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e

b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

T : V → V , temos que na letra (a) para T k invariante, tal que,

T k = q k t p t + r k t ,     t = 0 , i , - i

Na letra (b) para p ( t ) invariante para todo polinômio p ( t ) , temos

p t = - t t 2 + 1 = - t ( t - i ) ( t + i )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) T k = q k t p t + r k t ,     t = 0 , i , - i

b) p t = - t ( t - i ) ( t + i )

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .