Enunciado

Seja F ∈ L V um operador tal que F 2 - F + I = 0 . Mostrar que F é inversível e que F - 1 = I - F .

Passo 1

Bom, temos que provar que existe um operador F inversível, que satisfaça a relação F 2 - F + I = 0 .

Para resolvermos esta questão, precisamos lembrar da relação entre um operador e sua inversa (entre uma matriz e sua inversa). Dada uma matriz A e sua inversa A - 1 , temos a seguinte identidade:

A A - 1 = I

E o que queremos dizer com isto? Vamos verificar que existe alguma matriz X tal que o produto de F com ela seja igual a identidade, isto é,

F X = I

Chegando a esta relação acima, provamos que F é inversível. E não só isto, também obtemos a inversa de F , a qual é F - 1 = X .

Passo 2

Certo, agora que a gente explicou o que tem que ser feito, como é que realmente vamos resolver a questão?

A resposta desta pergunta está na relação F 2 - F + I = 0 que o operador satisfaz. Vamos trabalhar com esta relação e assim obter algo do tipo F X = I .

Sendo assim, temos:

F 2 - F + I = 0

F F - I + I = 0

F F - I = - I

- F F - I = I

F I - F = I

Se chamarmos X = F - 1 = I - F , temos:

F X = F F - 1 = I

Então, o operador F é realmente inversível e a sua inversa é F - 1 = I - F , assim como o enunciado da questão já havia nos informado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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