Enunciado

Verifique a lei do paralelogramo num espaço euclidiano V : u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 ,   ∀ u , v   ∈ V .

Passo 1

Vamos lá! Vamos partir de u + v 2 + u - v 2 :

u + v 2 + u - v 2 = u + v , u + v + u - v , u - v

Temos que , u + v , u + v + u - v , u - v é igual a

u , u + u , v + v , u + v , v + u , u - u , v - v , u + v , v

Dando aquela arrumada marota, ficamos com

u , u + v , v + u , u + v , v

Que é a mesma coisa que

2 u , u + 2 v , v

Ou seja,

2 u 2 + 2 v 2

Como poderíamos fazer o caminho inverso, conseguimos concluir que

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

Beleza?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se u =a 1 b 1 c 1 d 1ev =a 2 b 2 c 2 d 2 São matrizes quaisquer de M(2,2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço: u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 Dados os vetores: u
Consideremos no R 3 , o produto interno usual. Para que valores de m os vetores uev são ortogonais? u = 3 m , 2 , - m e v = - 4,1 , 5 u = ( 0 , m - 1,4 ) e v = ( 5 , m - 1 , - 1 )
Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x -
Seja V = R 3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R 3 ortogonal aos vetores v 1 = 1,1 , 2 ,v 2 = 5,1 , 3ev 3 = ( 2 , - 2 , - 3 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .