Enunciado

Seja P = ( h , k ) um ponto não pertencente a elipse E : x 2 p + y 2 q = 1 , distinto da origem. Prove que

( a ) se P é interior a elipse, existe Q em E tal que P é interior a O Q

( b ) se P é exterior a E , existe Q em E interior a O P

(lembre-se: um ponto X é interior ao segmento A B se, e somente se, existe λ tal que 0 < λ < 1 e X = A + λ A B → ).

Passo 1

O que a letra a está retratando é algo desse nível aqui ó:

E que o segmento de reta O P está dentro de uma elipse com comportamento igual a:

x 2 p + y 2 q = λ 2

Ou seja, para o ponto P teremos a seguinte relação:

h 2 p + k 2 q = λ 2

λ = h 2 p + k 2 q - 1 2

Onde esse λ será igual a 1, para as coordenadas x e y de q. Portanto quando h < x Q e k < y Q , então esse λ ficará restrito entre 0 < λ < 1 , uma vez que h 2 e k 2 assim como p e q sempre nos darão números positivos.

E como queremos mostrar que P é interior ao segmento O Q então:

P = O + λ O Q →  

Onde consideramos O P coincidente com O Q , uma vez que queremos pelo menos um ponto onde P esteja dentro do segmento O Q , então sim λ deve estar entre zero e 1 para que a equação acima seja verdadeira.

Passo 2

Já se P é externo nós iremos ter algo como:

Então teríamos algo como:

P = O + λ O Q →  

λ = h 2 p + k 2 q - 1 2

Onde h > x Q e k > y Q . E com isso o valor de λ seria maior que um.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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