Enunciado

Suponha que ( u → ,   v → ,   w → ) seja LI. Dado t → , existem α ,   β e γ tais que t → = α u → + β v → + γ w → (Proposição 6-8). Prove: ( u → + t → ,   v → + t → ,   w → + t → ) é LI ⇔ α + β + γ + 1 ≠ 0 .

Passo 1

A sequência ( u → + t → ,   v → + t → ,   w → + t → ) pode ser escrita como:

u → 1 + α + β v → + γ w →   ,   α u → + v → 1 + β + γ w →   ,   α u → + β v → + w → . γ + 1

Para que essa sequência seja LI, vamos igualá-la por exemplo à sequência LI ( u → ,   v → ,   w → ) :

u → 1 + α + β v → + γ w → = u →

α u → + v → 1 + β + γ w → = v →

α u → + β v → + w → . γ + 1 = w →

Nessas três equações, a única solução possível é α = β = γ = 0 , que satisfaz que:

α + β + γ + 1 ≠ 0 → 1 ≠ 0

Passo 2

Agora vamos provar a volta, ou seja: se α + β + γ + 1 ≠ 0 , a sequência ( u → + t → ,   v → + t → ,   w → + t → ) é LI?

Vamos supor α = β = γ = 0 , nesse caso, temos

t → = 0 u → + 0 v → + 0 w → = 0

Logo, a sequência ( u → + t → ,   v → + t → ,   w → + t → ) será

( u → ,   v → ,   w → )

Que sabemos que é uma sequência LI :)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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