Enunciado

Seja P : a projeção ortogonal sobre a reta y = 3x. Dado o vetor u = (2, 5), determine x de tal modo que, pondo v = (x, 10), tenha-se Pv = Pu.

Passo 1

Sabemos que a projeção ortogonal sobre uma reta y = ax, é dada por uma transformação que retorna a reta y’ = ax’, de tal modo que:

X’= x 1 + a 2 + a y 1 + a 2

Y’= a x 1 + a 2 + a 2 y 1 + a 2

Como y = 3x deve corresponder a y = ax, então a=3.

Substituindo a=3:

X’= x 1 + 3 2 + 3 y 1 + 3 2

Y’= 3 x 1 + 3 2 + 3 2 y 1 + 3 2

Passo 2

Como Pv = Pu,

P(x, 10) = P(2, 5)

Como queremos descobrir x, substituímos os valores para coordenada X’ de P(2, 5) e P(x, 10):

X’(u)= 2 1 + 3 2 + 3   .     5 1 + 3 2 = 17 10 = X’(v)= x 1 + 3 2 + 3   .     10 1 + 3 2 = x 10 + 30 10

Assim,

x 10 + 30 10 = 17 10

Logo x=-13

Resposta

Logo x=-13

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar aeb , de modo que os vetores u → = 4,1 , - 3 ev → = ( 6 , a , b ) sejam paralelos.
Encontrar os números a_1 e a_2 tais que vec w = a_1 vec v_1 + a_2 vec v_2 , sendo vec v_1 = (1 , - 2,1) , vec v_2 = (2,0 , - 4) e vec w = ( - 4 , - 4 , 14 ) .
Verificar se são colineares os pontos:b) A (2,1 , - 1) , B (3 , - 1,0) e C ( 1,0 , 4 )
Dado os vetores u → = ( 3 , - 4 ) e v → = - 9 4 ,3 verifique se existem números aeb tais que u → = a v → e v → = b u → .
Dado os pontos A (- 1,2 , 3) , B (4 , - 2,0) , determinar o ponto P tal que vec A P = 3 vec A B .