Enunciado

Diz-se que uma reta é tangente a uma parábola quando tem um único ponto em comum com ela e não é paralela ao eixo. Mostre que a reta y   =   7 x   -   3 é tangente a parábola y   =   x ²   +   3 x   +   1 no ponto ( 2 ,   11 )

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Bora lá então!

Esse exercício se trata de uma demonstração beleza!

Preparado?

Vamos começar então!

Temos que provar que a reta y   =   7 x   -   3 é tangente a parábola no ponto ( 2,11 )

Vamos começar considerando que a família de retas que passam pelo ponto ( 2,11 ) será dada através do coeficiente angular como:

Y   –   11   =   m   (   x   - 2 )

Y   =   m x - 2 m + 11

Como queremos uma reta tangente, então existe apenas um ponto de interseção, logo:

m x - 2 m + 11     =   x ²   +   3 x   +   1

-   x 2 - 3 x + m x - 2 m + 11   - 1 =   0  

Colocando o   x em evidencia:

-   x 2 - x   3 - m - 2 m + 10 =   0  

Passo 2

Como queremos apenas 1 ponto ou apenas uma solução, sabemos que para isso ocorrer em uma equação da parábola ∆ = 0

Então dada a equação -   x 2 - x   3 - m - 2 m + 10 =   0  

Temos que calcular o

∆ = b 2 - 4 a c  

∆ =   3 - m 2 - 4 - 1 .   ( - 2 m + 10 )  

∆ = m 2 - 6 m + 9 - 8 m + 40  

∆ = m 2 - 6 m + 9 - 8 m + 40  

∆ = m 2 - 14 m + 49

0 = m 2 - 14 m + 49

Até aí tranquilo?

Vamos resolver essa equação agora!

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - ( - 14 ) ± ( - 14 ) 2 - 4   . 1.49 2 . 1  

m = - ( - 14 ) ± ( - 14 ) 2 - 4   . 1.49 2 . 1  

m = - ( - 14 ) ± 0 2 . 1  

m = 7  

Escrevendo a equação teremos:

Y   =   7 x - 2.7 + 11

Y   =   7 x - 14 + 11

Y   =   7 x - 3

Se observamos é a mesma reta fornecida pela questão.

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Y   =   7 x - 3

Exercícios de Livros Relacionados

A reta que passa pelos pontos ( - 4 , - 6,1 ) e ( - 2,0 , - 3 ) é paralela à reta que passa pelos pontos ( 10,18,4 ) e 5,3 , 14 ?
3.1.3 Determine uma equação para a reta no plano que é paralela ao vetor V = 2,3 , e passa pelo ponto P 0 = 1,2 .
3.1.8 Verifique se os pontos a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta:(b) A = - 1,1 , 3 , B = 4,2 , - 3 e C = 14,4 , - 15
3.1.8 Verifique se os pontos a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta:(a) A = 5,1 , - 3 , B = 0,3 , 4 e C = 0,3 , - 5
As retas y=a x+b e y=a ' ' x+b ' ′ são perpendiculares e contêm o ponto ( x 0 ,y 0 ) . Conhecendo a e b , determine a ' ′ e b ' ′.