Enunciado

Seja r a reta determinada pelos pontos A   =   ( 1,2 , 0 ) e B   =   ( - 1 , - k , 3 ) , e γ o plano da equação k x   - y   + 2 z - m   =   0 .

  1. Para que valores de k   e m   a reta r   é paralela a γ ?
  2. Para que valores de k   e m   a reta está contida em γ   ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos começar determinando a reta que passa pelos pontos A   =   ( 1,2 , 0 ) e B   =   ( - 1 , - k , 3 ) . Podemos escolher A   =   ( 1,2 , 0 ) como sendo o ponto inicial da reta, de modo que sua equação paramétrica se torne

x = 1 + λ l

y = 2 + λ m

z = λ n

Por outro lado, o vetor diretor da reta pode ser dado por um vetor que sai de A   =   ( 1,2 , 0 ) e vai até B   =   ( - 1 , - k , 3 ) :

v → r = A B → = B - A = ( - 1 , - k , 3 ) - ( 1,2 , 0 ) = ( - 2 , - k - 2,3 )

Agora que sabemos o valor do vetor diretor da reta, podemos substituir na equação paramétrica:

x = 1 - 2 λ

y = 2 - ( 2 + k ) λ

z = 3 λ

Assim, qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como R = ( 1 - 2 λ , 2 - ( 2 + k ) λ ,   3 λ ) . Em particular, recuperamos R = A quando λ = 0 e R = B quando λ = 1 . Outra informação importante é que o vetor normal ao plano é dado por n → = ( k , - 1,2 ) . Agora sim podemos começar a resolver a questão.

Passo 2

  1. Nesse item, precisamos que a reta seja paralela ao plano. Já que r   é paralela a γ , então o vetor diretor de r deve ser ortogonal ao vetor normal ao plano. Assim,
  2. n → ⋅ v → r = ( k , - 1,2 ) ⋅ ( - 2 , - k - 2,3 ) = - 2 k + k + 2 + 2 ⋅ 3 = 0 ⇒ k = 8

    Agora, precisamos de uma segunda equação. Mas calma que ainda temos uma carta na manga. Então, vamos lembrar que os pontos da reta podem ser escritos como R = ( 1 - 2 λ , 2 - ( 2 + k ) λ ,   3 λ ) . Para simplificar, vamos escolher o ponto para o qual λ = 0 , ou seja, R = ( 1,2 , 0 ) . Como a reta deve estar paralela ao plano mas não contida no plano, esse ponto não pode satisfazer a equação do plano:

    k x   - y   + 2 z - m ≠ 0 ⇒ k   - 2   - m ≠ 0 ⇒ 8 - 2 - m ≠ 0 ⇒ m ≠ 6

    Passo 3

  3. Agora, queremos que m   a reta está contida em γ   . Naturalmente, o vetor diretor da reta continua sendo ortogonal ao vetor normal do plano. Então a condição k   = 8 permanece válida. O que muda agora é que o ponto R = ( 1,2 , 0 ) deve satisfazer a equação do plano para que a reta esteja contida nele. Assim,

k x   - y   + 2 z - m = 0 ⇒ k   - 2   - m = 0 ⇒ 8 - 2 - m = 0 ⇒ m = 6

Resposta

  1. k   = 8 e m   ≠   6
  2. k   = 8 e m   =   6

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