Enunciado

Seja, A B C D um tetraedro, P = A + 2 A B → + A C → + A D → ,   Q = B - A B → - A C → + A D → e R = C + A B → + A C → . Calcule a razão entre os volumes dos tetraedros P Q R D e A B C D .

Passo 1

O bizu nessa questão é utilizar o produto misto, com ele poderemos facilmente calcular a razão entre os volumes dos tetraedros formados.

Os vetores fornecidos pelo enunciado são:

P A → = 2 A B → + A C → + A D →

Q B → = - A B → - A C → + A D →

R C → = A B → + A C →

Passo 2

Colocando os três vetores em função do ponto D , temos:

P A → + A D → = 2 A B → + A C → + A D → + A D →

P D → = 2 A B → + A C → + 2 A D →

Q B → - A B → + A D → = - A B → - A C → + A D → - A B → + A D →

Q D → = - 2 A B → - A C → + 2 A D →

R C → - A C → + A D → = A B → + A C → - A C → + A D →

R D → = A B → + A D →

Passo 3

Vamos chamar cada vetor por uma letrinha para facilitar a visualização:

A B → = a

A C → = b

A D → = c

V A B C D = 1 6 a , b , c ,

Onde V A B C D é o volume do tetraedro A B C D .

Passo 4

Portanto, os novos vetores do tetraedro P Q R D escritos em função das letras a, b, c são dados por:

P D → = 2 a + b + 2 c

Q D → = - 2 a - b + 2 c

R D → = a + c

Passo 5

Calculando o produto misto dos vetores escontrados no passo anterior, temos:

P D → , Q D → , R D → = 2 1 2 - 2 - 1 2 1 0 1 a , b , c = 4 [ a , b , c ]

Passo 6

Por fim, calculando a razão entre os volumes:

V A B C D = 1 6 a , b , c ,

V P Q R D = 1 6 P D → , Q D → , R D → = 1 6 4 [ a , b , c ] = 4 6 a , b , c ,

V P Q R D V A B C D = 4 6 a , b , c , 1 6 a , b , c , = 4

Resposta

Logo, a razão entre os tetraedros é V P Q R D V A B C D = 4 .

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Seja ( e 1 → ,e 2 → ,e 3 → ) uma base.(a) Prove que, para todo vetor x → , vale a igualdade x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e
Dados u → ,v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,v → ∧ w → ,w → ∧ u → . Prove que (b) E é LD⇔ F é LD;
Dados u → ,v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,v → ∧ w → ,w → ∧ u → . Prove que (d) se E é base, então F é positiva. (Qual é, neste caso, o determinante de M E F ?)
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