Enunciado

Seja T :   R 3 → R 2 uma transformação linear definida por T 1 ,   1 ,   1 = ( 1 ,   2 ) , T 1 ,   1   0 = ( 2 ,   3 ) e T 1 ,   0 ,   0 = ( 3 ,   4 ) .

a) Determinar T ( x , y , z ) .

b) Determinar v ∈ R 3 tal que T v = ( - 3 ,   - 2 ) .

c) Determinar v ∈ R 3 tal que T v = ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

O problema fornece uma transformação linear com T 1 ,   1 ,   1 = ( 1 ,   2 ) , T 1 ,   1   0 = ( 2 ,   3 ) e T 1 ,   0 ,   0 = ( 3 ,   4 ) .

O primeiro passo é achar T ( 1 ,   0 ,   0 ) , T ( 0 ,   1 ,   0 ) e T ( 0 ,   0 ,   1 ) . Note que um deles já foi dado

T 1 ,   0 ,   0 = ( 3 ,   4 )

Usando as propriedades de linearidade, você pode escrever:

T 1 ,   1 ,   0 = T 1 ,   0 ,   0 + T 0 ,   1 ,   0 = ( 2 ,   3 )

Assim,

T 0 ,   1 ,   0 = 2 ,   3 - T 1 ,   0 ,   0 = 2 ,   3 - 3 ,   4 = ( - 1 ,   - 1 )

Analogamente,

T 1 ,   1 ,   1 = T 1 ,   1 ,   0 + T 0 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   2 )

Logo,

T 0 ,   0 ,   1 = 1 ,   2 - T 1 ,   1 ,   0 = 1 ,   2 - 2 ,   3 = ( - 1 ,   - 1 )

Passo 2

Agora que temos T ( 1 ,   0 ,   0 ) , T ( 0 ,   1 ,   0 ) e T ( 0 ,   0 ,   1 ) , podemos escrever

T x ,   y ,   z = x   T 1 ,   0 ,   0 + y   T 0 ,   1 ,   0 + z   T ( 0 ,   0 ,   1 )

Assim,

T x ,   y ,   z = x   3 ,   4 + y   - 1 ,   - 1 + z   ( - 1 ,   - 1 )

Logo,

T x ,   y ,   z = ( 3 x - y - z ,   4 x - y - z )

Passo 3

No item (b), queremos v tal que T v = ( - 3 ,   - 2 ) . Assim, usando a resposta do item (a):

3 x - y - z ,   4 x - y - z = ( - 3 , - 2 )

Assim,

3 x - y - z = - 3 4 x - y - z = - 2

Subtraindo as equações:

- x = - 1 ⇒ x = 1

Substituindo na primeira equação:

3 - y - z = - 3 ⇒ y + z = 6 ⇒ z = 6 - y

Portanto,

v = ( 1 ,   y ,   6 - y )

Passo 4

Por fim, no item (c), queremos v tal que T v = ( 0 ,   0 ) :

3 x - y - z = 0 4 x - y - z = 0

Subtraindo as equações:

x = 0

Assim,

- y - z = 0 ⇒ z = - y

Portanto,

v = ( 0 ,   y ,   - y )

Resposta

T x ,   y ,   z = ( 3 x - y - z ,   4 x - y - z )

v = ( 1 ,   y ,   6 - y )

v = ( 0 ,   y ,   - y )

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