Enunciado

Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P .

A = 1 - 2 - 2 0 1 0 0 2 3

Passo 1

O problema fornece uma matriz A e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz P de modo que P - 1 A P seja diagonal.

Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz P são as componentes dos autovetores.

já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:

det ⁡ A - λ I = 0

Assim,

1 - λ - 2 - 2 0 1 - λ 0 0 2 3 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira coluna:

1 - λ ⋅ 1 - λ 3 - λ - 0 = 0

Assim,

1 - λ 2 ( 3 - λ ) = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 1   m u l t i p l i c i d a d e   2         e           λ 2 = 3

Como um dos autovalores tem multiplicidade 2 , temos que ver se a matriz admite dois autovetores L I associados a ele. Caso isso ocorra, ela será diagonalizável.

Passo 2

A equação para determinarmos os autovetores é

A - λ I a b c = 0 0 0

Para λ 1 = 1 :

0 - 2 - 2 0 0 0 0 2 2 a b c = 0 0 0

A primeira equação é idêntica a a terceira:

- 2 c - 2 b = 0 ⇒ c = - b

Como não temos restrição quanto a a :

a ,   b ,   c = a ,   b ,   - b = a   1 ,   0 ,   0 + b   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Assim, os autovetores associados a λ 1 = 1 são

v 1 = 1 ,   0 ,   0           e           v 2 = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Analogamente, para λ 2 = 3 :

- 2 - 2 - 2 0 - 2 0 0 2 0 a b c = 0 0 0

Da segunda e terceira equção:

b = 0

Assim, na primeira:

- 2 a - 2 c = 0 ⇒ c = - a

Portanto,

v 3 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   - a = a   ( 1 ,   0 ,   - a )

Escolhendo a = 1 :

v 3 = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Passo 3

Para construir a matriz P , basta lembrar que suas colunas são os autovetores:

P = 1 0 1 0 1 0 0 - 1 - 1

Assim, o produto P - 1 A P será diagonal com as entradas da diagonal sendo os autovalores:

P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 3

Resposta

P = 1 0 1 0 1 0 0 - 1 - 1

P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis. 8 ) Transformação T que tem autovalores - 2 e 3 associados a ( 3 y ,y ) e ( - 2 y ,y ) .
Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis. 5 )T : P 2 → P 2 : T a x 2 + b x + c = a x 2 + c x + b
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis? A = 1 1 0 a B = 1 a 0 1