Enunciado

Seja V = C 0 [ 0,4 ] o conjunto das funções contínua do intervalo [ 0,4 ] em R com o produto interno definido por

< f , g > = ∫ 0 4 f t . g t d t

a) Determine uma base ortogonal para os subespaços

W 2 = p ∈ P 2 p 0 = 0

W 3 = p ∈ P 3 p 0 = 0

Em que P n é o espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a n

b) Calcule a projeção da função f t = t ∈ V nos subespaços W 2 e W 3

Passo 1

Vamos lá :D

a) O que precisamos entender antes de começar o exercício é: se temos um espaço de polinômios em que p 0 = 0 , necessariamente esses polinômios não terão termos independentes, porque por exemplo:

p = x 3 + x 2 + x + 1 → p 0 = 1

Sacou? Nesse polinômio aí em cima tínhamos um termo independente, e aí quando x = 0 , ele fica sobrando ali

Para que p 0 = 0 , todos os termos do polinômio devem envolver algum x

Dessa forma, uma base – não ortogonal – para W 2 é { x , x ² } e uma base não ortogonal para W 3 é x , x 2 , x ³

Agora vamos ortogonalizar essas bases usando Gram-Schmidt 😉

Passo 2

Vamos começar por W 2 . Queremos encontrar uma base ortogonal { v 1 , v 2 } a partir da base u 1 , u 2 = { x , x ² } . Usando Gram-Schmidt, temos que

v 1 = u 1

v 1 = x

Já temos o primeiro elemento da base ortogonal. Para encontrarmos o segundo elemento, vamos fazer v 2 = u 2 - u 2 , v 1 v 1 , v 1 . v 1

v 2 = x 2 - x 2 , x x , x . x

Para fazer o produto interno, vamos usar a definição que foi dada no enunciado:

v 2 = x 2 - ∫ 0 4 x 2 . x   d x ∫ 0 4 x . x   d t . x

Agora é só fazer os cálculos!

Passo 3

Temos

v 2 = x 2 - ∫ 0 4 x 2 . x   d x ∫ 0 4 x . x   d t . x

Então

v 2 = x 2 - x 4 4 0 4 x 3 3 0 4 x

v 2 = x 2 - 4 4 4 - 0 4 4 4 3 3 - 0 3 3 x

v 2 = x 2 - 4 4 4 4 3 3 x

v 2 = x 2 - 4 4 4 . 3 4 3 x

v 2 = x 2 - 12 4 x

Então, o segundo elemento da base ortogonal é

v 2 = x 2 - 3 x

Logo, uma base ortogonal para W 2 é

β = { x , x 2 - 3 x }

Agora vamos para W 3 😊

Passo 4

Queremos encontrar uma base ortogonal { v 1 , v 2 , v 3 } a partir da base u 1 , u 2 , u 3 = { x , x 2 , x ³ } . Usando Gram-Schmidt, temos que

v 1 = u 1

v 1 = x

Já temos o primeiro elemento da base ortogonal. Para encontrarmos o segundo elemento, vamos fazer v 2 = u 2 - u 2 , v 1 v 1 , v 1 . v 1

v 2 = x 2 - x 2 , x x , x . x

v 2 = x 2 - ∫ 0 4 x 2 . x   d x ∫ 0 4 x . x   d t . x

Opa, essa conta já fizemos lá no espaço W 2 hehehe encontramos que

v 2 = x 2 - 3 x

Agora é só encontrar o terceiro elemento da base ortogonal, porque W 3 tem dimensão 3 né

Passo 5

Usando Gram-Schmidt, o terceiro termo da base ortogonal vai ser

v 3 = u 3 - u 3 , v 1 v 1 , v 1 . v 1 - u 3 , v 1 v 1 , v 1 . v 1

v 3 = x ³ - x 3 , x x , x . x - x 3 , x 2 - 3 x x 2 - 3 x , x 2 - 3 x . x 2 - 3 x

Usando o produto interno dado no enunciado, temos

v 3 = x ³ - ∫ 0 4 x ³ . x   d x ∫ 0 4 x . x   d x . x - ∫ 0 4 x 3 . ( x 2 - 3 x )   d x ∫ 0 4 ( x 2 - 3 x ) ²   d x . x 2 - 3 x

Agora é >só

Passo 6

Temos

v 3 = x ³ - ∫ 0 4 x 4   d x ∫ 0 4 x ²   d x . x - ∫ 0 4 x 5 - 3 x 4   d x ∫ 0 4 x 4 - 6 x 3 + 9 x ²   d x . x 2 - 3 x

v 3 = x ³ - x 5 5 0 4 x 3 3 0 4 . x - x 6 6 - 3 x 5 5 0 4 x 5 5 - 3 x 4 2 + 3 x 3 0 4 . x 2 - 3 x

v 3 = x ³ - 4 5 5 - 0 5 5 4 3 3 - 0 3 3 . x - 4 6 6 - 3 4 5 5 - 0 6 6 - 3 0 5 5 4 5 5 - 3 4 4 2 + 3 × 4 3 - 0 5 5 - 3 0 4 2 + 3 × 0 3 . x 2 - 3 x

v 3 = x ³ - 4 5 5 4 3 3 . x - 4 6 6 - 3 4 5 5 4 5 5 - 3 4 4 2 + 3 × 4 3 . x 2 - 3 x

Então:

v 3 = x 3 + 32 5 . x - 16 3 x ²

Dessa forma, uma base ortogonal para W 3 é

β = x , x 2 - 3 x , x 3 + 32 5 x - 16 3 x 2

Passo 7

b) Agora queremos calcular a projeção da função f x = x em W 2 e W 3

Para isso, precisamos saber que

p r o j W 2 x = p r o j v 1 x + p r o j v 2 x

p r o j W 3 x = p r o j v 1 x + p r o j v 2 x + p r o j v 3 x = p r o j W 2 x + p r o j v 3 x

Ou seja, vamos calcular a projeção dessa função em cada elemento da base e somar tudo

Lembrando que a fórmula de projeção é dada por

p r o j v u = u , v v , v . v

Vamos lá!

Passo 8

Vamos começar encontrando a projeção em W 2 , em que a base é x , x 2 - 3 x

p r o j W 2 x = p r o j v 1 x + p r o j v 2 x

p r o j W 2 x = x , x x , x . x + x , x 2 - 3 x x 2 - 3 x , x 2 - 3 x . x 2 - 3 x

De onde temos:

p r o j W 2 x = - 1 7 x 2 + 36 35 x

Passo 9

Agora vamos encontrar a projeção em W 3 , que tem a base x , x 2 - 3 x , x 3 + 32 5 x - 16 3 x 2

p r o j W 3 x = p r o j W 2 x + p r o j v 3 x

p r o j W 3 x = - 1 7 x 2 + 36 35 x + x , x 3 + 32 5 x - 16 3 x 2 x 3 + 32 5 x - 16 3 x 2 , x 3 + 32 5 x - 16 3 x 2 . x 3 + 32 5 x - 16 3 x 2

De onde temos:

p r o j W 3 x = 1 16 x 3 - 10 21 x 2 + 10 7 x

Uhhh, depois desse exercício merecemos até um cafezinho hein 😅

Resposta

a) β W 2 = { x , x 2 - 3 x }

β W 3 = x , x 2 - 3 x , x 3 + 32 5 x - 16 3 x 2

b) p r o j W 2 x = - 1 7 x 2 + 36 35 x

p r o j W 3 x = 1 16 x 3 - 10 21 x 2 + 10 7 x

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Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).
Seja V = C 0 - 1,1 o conjunto das funções contínuas do intervalo - 1,1 em R com o produto interno definido por f , g = ∫ 0 1 f t g t d t Determine as projeções das funções dadas em relação aos subespa
Seja V = C 0 - 1,1 o conjunto das funções contínuas do intervalo - 1,1 em R com o produto interno definido por f , g = ∫ - 1 1 f t g t d t Sabendo-se que p 0 t = 1 é base ortogonal de P 0 , p 0 t = 1
Mostre que se W 1 , … , W k são vetores não nulos ortogonais e x = α 1 W 1 + … + α k W k , então X = p r o j W 1 X + … + p r o j W k X .