Enunciado

Seja   0   uma matriz 2 × 2 com todas as entradas nulas.

  1. Existe alguma matriz A de tamanho 2 × 2 tal que A ≠ 0 e A A = 0 ? Justifique sua resposta

Passo 1

Esse problema aborda uma generalização de uma matriz e quer que achemos uma condição para determinar se existe ou não uma matriz A tal que A A = 0 sendo essa matriz não nula.

Atentemos à definição do produto entre matrizesEntão, vamos fazer um produto geral de uma matriz A = a b c d por ela mesma:

A A = a b c d a b c d

A A = a × a + ( b × c ) a × b + ( b × d ) c × a + ( d × c ) c × b + ( d × d )

A A = a 2 + b c a b + b d c a + d c c b + d 2

Passo 2

Para que a matriz não seja nula, ao menos um termo deve ser diferente de zero.

Se criarmos uma matriz com a primeira coluna nula e algum termo da segunda coluna diferente de zero, teremos uma matriz A = a b c d tal que A A = 0 0 0 0

Passo 3

Vamos testar se a matriz com essas condições satisfaz A A = 0 0 0 0 :

A = 0 a 0 0

A A = 0 a 0 0 0 a 0 0

A A = 0 × 0 + ( a × 0 ) 0 × a + ( a × 0 ) 0 × 0 + ( 0 × 0 ) 0 × a + ( 0 × 0 )

A A = 0 0 0 0

Resposta

Portanto, existe uma matriz A ≠ 0 tal que   A A = 0 0 0 0

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