Enunciado

Sejam E = ( u → ,   v → ,   w → ) uma base e F = v → - u → ,   u → - w → ,   u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .

Passo 1

O exercício fornece a base E = ( u → ,   v → ,   w → ) e quer que provemos que F = v → - u → ,   u → - w → ,   u → é uma base. Para isso, construímos a matriz de mudança de base e verificamos se ela é invertível! Escritos na base E , temos que

f → 1 = v → - u → = - 1 ,   1 ,   0 E

f → 2 = u → - w → = 1 ,   0 ,   - 1 E

f → 3 = u → = 1 ,   0 ,   0 E

Para construir a matriz M E F , basta pegar os vetors f → 1 , f → 2 e f → 3 e colocar nas colunas da matriz:

M E F = - 1 1 1 1 0 0 0 - 1 0

Calculando o determinante:

det ⁡ M E F = - 1 1 1 1 0 0 0 - 1 0 = - 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ - 1 = - 1 ≠ 0

Assim, a matriz é invertível e F é uma base!

Passo 2

Agora queremos escrever o vetor x → = u → + 2 v → + 3 w → na base F . Sabemos que

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F

Nesse caso, temos que x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( 1 ,   2 ,   3 ) , e queremos achar ( y 1 ,   y 2 ,   y 3 ) . Assim,

- 1 1 1 1 0 0 0 - 1 0 ⋅ y 1 y 2 y 3 = 1 2 3

Uma forma de resolver esse problema é achar a inversa de M E F e multiplicar os dois lados da equação por ela. Mas calcular inversa é um saco, eu pelo menos odeio, então prefiro usar o bom e velho sistema!

Passo 3

Multiplicando as matrizes, obtemos

- y 1 + y 2 + y 3 = 1 y 1 = 2 - y 2 = 3

Das últimas equações já tiramos:

y 1 = 2           e           y 2 = - 3

Substituindo na primeira:

- 2 - 3 + y 3 = 1

Logo,

y 3 = 6

Portanto,

x → = 2 ,   - 3 ,   6 F

Resposta

2 ,   - 3 ,   6 F

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