Enunciado

Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 para a base F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,   e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1 = e → 3 - e → 1 , f → 2 = 3 e → 1 e f → 3 = 3 e → 2 - 4 e → 1 .

Passo 1

Essa é uma questão bem clássica sobre mudança de base! O enunciado fornece duas bases: E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 . Foi dado também que

f → 1 = - 1 ,   0 ,   1 E

f → 2 = 3 ,   0 ,   0 E

f → 3 = - 4 ,   3 ,   0 E

Um vetor u → foi dado na base F :

u → = - 4 ,   1 ,   - 1 F

O que queremos é escrever o vetor u → na base E . Para isso, usamos a equação

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F

Para isso, temos que construir a matriz de mudança de base M E F !

Passo 2

Construir a matriz M E F é simples: as colunas serão os vetores da base F escritas em termos da base E :

M E F = - 1 3 - 4 0 0 3 1 0 0

Note que basta colocar as coordenadas dos vetores f → 1 , f → 2 e f → 3 nas colunas da matriz!

Passo 3

Como temos u → escrito na base F , temos que

y 1 y 2 y 3 F = - 4 1 - 1 F

Assim,

x 1 x 2 x 3 E = - 1 3 - 4 0 0 3 1 0 0 ⋅ - 4 1 - 1 F

Fazendo a multiplicação de matrizes:

x 1 x 2 x 3 E = 11 - 3 - 4 E

Portanto,

u → = 11 ,   - 3 ,   - 4 E

Ou ainda,

u → = 11 e → 1 - 3 e → 2 - 4 e → 3

Resposta

u → = 11 e → 1 - 3 e → 2 - 4 e → 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A = 3 - 2 1 0 1 6 2 1 - 3 0 7 1 a matriz de T : R 4 → R 3 em relação às bases B = { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } e B ' = { w 1 ,w 2 ,w 3 } em que. v 1 = 0 1 1 1 , v 2 = 2 1 - 1 - 1 , v 3 = 1 4 - 1 2 , v
(Requer Cálculo) Pode ser mostrado que os vetores 1 . x - c.x - c 2 2 ! .… x - c n n ! Formam uma base de P n qualquer que seja o número real c dado. Encontre a matriz do operador de derivação do Exer
(Requer Cálculo) Sejam D : P n → P n o operador de derivação D p = p ' . Mostre que a matriz de D em relação a base B = { 1 , x , x 2 , ,...,x n } é 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 0 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0
(Requer Cálculo) Seja J : P n → P n + 1 a transformação de integração definida por ∫ 0 x a 0 + a 1 t +...+ a n t n d t = a 0 x + a 1 2 x 2 + ...+ a n n + 1 x n + 1 Em que p = a 0 + a 1 x +. . .+ a n x
(Requer Cálculo) Sejam p ( x ) e q ( x ) funções contínuas e con sidere o subespaçoV de C ( - ∞ ,+ ∞ ) que consiste em todas as funções que são duas vezes deriváveis. DefinaL : V → V por L y x =y ' '