Enunciado

Se E = u → ,   v → ,   w → é base, que condições deve satisfazer m para que F = u → + v → ,   m v → - w → ,   u → + m w → seja base? Escreva a matriz de mudança de base de E para F .

Passo 1

O problema fornece duas bases: E = u → ,   v → ,   w → e F = u → + v → ,   m v → - w → ,   u → + m w → . Devemos escrever a matriz de mudança de base M E F e determinar as condições que m deve satisfazer para que ela seja válida!

O primeiro passo é escrever os vetores de F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 na base E :

f → 1 = ( 1 ,   1 ,   0 )

f → 2 = ( 0 ,   m ,   - 1 )

f → 3 = ( 1 ,   0 ,   m )

Passo 2

Construir a matriz M E F é simples: as colunas serão os vetores da base F escritas em termos da base E :

M E F = 1 0 1 1 m 0 0 - 1 m

Note que basta colocar as coordenadas dos vetores f → 1 , f → 2 e f → 3 nas colunas da matriz!

Passo 3

Para que F realmente seja uma base, a matriz de mudança de base deve admitir inversa. Assim, seu determinante deve ser diferente de 0 :

det ⁡ M E F ≠ 0 ⇒ 1 0 1 1 m 0 0 - 1 m ≠ 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

1 ⋅ m 2 - 0 + 1 ⋅ - 1 - 0 ≠ 0 ⇒ m 2 - 1 ≠ 0

Portanto,

m ≠ ± 1

Resposta

m ≠ ± 1

M E F = 1 0 1 1 m 0 0 - 1 m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja V uma transformação linear de um espaço vetorial V de dimensão quatro com base B ’ num espaço vetorial W de dimensão sete com base T :V→W . Identifique os quatro espaçosvetoriais que contêm os ve
Em cada parte, B={ f 1 ,f 2 ,f 3 } é uma base de um subespaço V do espaço vetorial das funções reais definidas na reta real. Nas partes ( a ) , ( b ) e ( c ) , encontre a matriz do operador derivação
Seja T : P 2 → P 1 a transformação linear definida por T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 1 - 2 a 1 + 3 a 2 x .Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas B = 1 ,x ,x 2 e B ' = { 1 ,x } de P 2
Seja T : P 2 → P 3 a transformação linear definida por T p x = x p ( x - 3 ) , ou seja, T c 0 + c 1 x + c 1 x 2 = x ( c 0 + c 1 x - 3 + c 2 x - 3 2 ) Encontre T B ' , B em relação às bases B = 1 .x ,x
Sejam v 1 = 1 3 e v 2 = - 1 4 e seja A = 1 3 - 2 5 A matriz de T : R 2 → R 2 em relação á base B = { v 1 ,v 2 } .Encontre T v 1 B e T v 2 B .Encontre T ( v 1 ) e T ( v 2 ) .Encontre uma fórmula para T