Enunciado

Sejam S a base canônica de R 2 e B = v 1 ,   v 2 a base dada por v 1 = ( 2 ,   1 ) e v 2 = - 3 ,   4 .

a) Encontre a matriz de transição P B → S por inspeção.

a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição P S → B .

b) Confirme que P B → S e P S → B são inversas uma da outra.

d) Seja w = 5 ,   - 3 . Encontre w B e então use a fórmula (11) para calcular w S .

e) Seja w = 3 ,   - 5 . Encontre w S e então use a fórmula (12) para calcular w B .

Passo 1

O item (a) pede para escrever a matriz de transição da base B para a base S (canônica). Para isso, temos que escrever os vetores da base B com suas coordenadas na base S :

v 1 = 2 ,   1 S

v 2 = - 3 ,   4 S

Se a base S não fosse a canônica, isso daria muito mais trabalho, então sempre agradeça quando a base do problema for a canônica!

Agora ficou fácil, basta escrever as coordenadas na coluna da matriz:

P B → S = 2 - 3 1 4

Passo 2

Eu sei que você já sabe que basta inverter a matriz do item (a) que achamos a resposta do item (b). Mas o exercício quer que usemos o método dado pela fórmula (14). Para isso, escrevemos a matriz expandida:

2 - 3 1 4 1 0 0 1

A brincadeira aqui é a seguinte: vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que sobrar no lado direito será a matriz procurada!

Primeiro vamos inverter as linhas:

1 4 2 - 3 0 1 1 0

Agora, multiplicamos a primeira linha por - 2 e somamos com a segunda:

1 4 0 - 11 0 1 1 - 2 → 1 4 0 1 0 1 - 1 / 11 2 / 11

Observe que já dividi a segunda linha por - 11 . Agora, multiplicamos a segunda linha por - 4 e somamos com a primeira:

1 0 0 1 4 / 11 3 / 11 - 1 / 11 2 / 11

Com isso, achamos

P S → B = 4 11 3 11 - 1 11 2 11

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Temos que verificar que P S → B é a inversa de P B → S . Para isso, multiplicamos as duas matrizes:

P S → B   P B → S = 4 11 3 11 - 1 11 2 11 2 - 3 1 4 = 8 11 + 3 11 - 12 11 + 12 11 - 2 11 + 2 11 3 11 + 8 11 = 1 0 0 1

Da mesma forma,

P B → S   P S → B = 2 - 3 1 4 4 11 3 11 - 1 11 2 11 = 1 0 0 1

Provamos assim que uma matriz é a inversa da outra, pois o produto delas é a identidade!

Passo 4

Vamos agora ao item (d)! Temos que considerar o vetor

w = 5 ,   - 3

Primeiro temos que escrever as coordenadas desse vetor na base B . Assim, escrevemos

w = a v 1 + b v 2

Logo,

5 ,   - 3 = a   2 ,   1 + b   - 3 ,   4

Com isso, caímos no sistema:

2 a - 3 b = 5 a + 4 b = - 3

Resolvendo esse sistema, achamos

a = 1           e           b = - 1

Portanto, temos que

w = v 1 - v 2 = 1 ,   - 1 B

Ou ainda,

w B = 1 - 1

Para achar w S , usamos

w S = P B → S w B = 2 - 3 1 4 1 - 1

Portanto,

w S = 5 - 3

Ou ainda,

w = 5 ,   - 3 S

Passo 5

Por fim, vamos ao item (e). Agora, temos o vetor

w = 3 ,   - 5

Como a base S é canônica, temos que

w = 3 ,   - 5 S ⇒ w S = 3 - 5

Para achar w B , usamos a expressão

w B = P S → B w S = 4 11 3 11 - 1 11 2 11 3 - 5

Com isso, achamos

w B = - 3 / 11 - 13 / 11

Resposta

P B → S = 2 - 3 1 4

P S → B = 4 11 3 11 - 1 11 2 11

w = 5 ,   - 3 ⇒ w S = 5 - 3           e           w B = 1 - 1

w = 3 ,   - 5 ⇒ w S = 3 - 5           e           w B = - 3 / 11 - 13 / 1 1

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