Enunciado

Considere as bases B = u 1 ,   u 2 e B ' = u 1 ' ,   u 2 ' de R 2 , em que

u 1 = 2 2 ,           u 2 = 4 - 1 ,           u 1 ' = 1 3 ,           u 2 ' = - 1 - 1

a) Encontre a matriz de transição de B ' para B .

b) Encontre a matriz de transição de B para B ' .

c) Calcule o vetor de coordenadas w B , em que

w = 3 - 5

e use (10) para calcular w B ' .

d) Confira seu trabalho calculando w B ' diretamente.

Passo 1

Eai pessoal, partiu fazer uma questão sobre mudança de base?

Nesse exercício ele forneceu pra gente duas bases B = u 1 ,   u 2 e B ' = u 1 ' ,   u 2 ' . Nos primeiros itens queremos achar a matrizes de mudança de base P B ' → B e P B → B ' . Lembre que a matriz P A → B é construída pegando os vetores de A e escrevendo duas coordenadas em termos da base B . Daí, colocamos essas coordenadas nas colunas da matriz!

Neste problema, diferentemente do anterior, a base B não é a base canônica. Com isso, não é tão simples escrever as coordenadas de u 1 ' e u 2 ' na base B . Esse é nosso principal objetivo:

u 1 ' = 1 ,   3 = a   u 1 + b   u 2 = a   2 ,   2 + b   ( 4 ,   - 1 ) ⇒ 2 a + 4 b = 1 2 a - b = 3

Assim, achamos

a = 13 10             e             b = - 2 5

Da mesma forma

u 2 ' = - 1 ,   - 1 = a   2 ,   2 + b   4 ,   - 1 ⇒ 2 a + 4 b = - 1 2 a - b = - 1 ⇒ a = - 1 2         e         b = 0

u 1 ' = 13 10 ,   - 2 5 B

u 2 ' = - 1 2 , 0 B

Com isso, o item (a) já está pronto para gente, basta colocar essas coordenadas na coluna da matriz:

P B ' → B = 13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0

Passo 2

No item (b), queremos achar P B → B ' . Para isso, basta inverter a matriz achada no item (a). Como a matriz é 2 × 2 , vamos usar o truque:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Lembre-se que esse truque só vale para matrizes 2 × 2 . Assim, achamos a inversa rapidinho:

13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0 - 1 = 1 - 1 5 0 1 / 2 2 / 5 13 / 10 = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2

Assim,

P B → B ' = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Ele fornece um vetor dado por

w = 3 - 5

Para achar as coordendas de w com relação a base B , escrevemos:

u 2 ' = 3 ,   - 5 = a   2 ,   2 + b   4 ,   - 1 ⇒ 2 a + 4 b = 3 2 a - b = - 5 ⇒ a = - 17 10         e         b = 8 5

Assim,

w = - 17 10 , 8 5 B

Ou ainda,

w B = - 17 / 10 8 / 5

Daí, para calcular w B ' , usamos a fórmula

w B ' = P B → B ' w B

Assim,

w B ' = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2 - 17 / 10 8 / 5

Fazendo o produto de matrizes, achamos

w B ' = - 4 - 7

Isso significa que

w = - 4 ,   - 7 B '

Passo 4

No item (d) temos que confirmar que nosso resultado do item (c) está correto. Para isso, usamos que

w = - 4 ,   - 7 B ' = - 4 u 1 ' - 7 u 2 '

Como u 1 ' = 1 ,   3 e u 2 ' = - 1 ,   - 1 , temos que

w = - 4   1 ,   3 - 7   - 1 ,   - 1 = - 4 ,   - 12 + ( 7 ,   7 )

Assim,

w = ( 3 ,   - 5 )

Vemos que as contas estão certas 😊

Resposta

P B ' → B = 13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0

P B → B ' = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2

w B = - 17 / 10 8 / 5

w B ' = - 4 - 7

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