Enunciado

Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,   u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que:

T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0

Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,   v 3 → a base de V definida por:

v 1 → = u 1 → v 2 → = u 1 → + u 2 → v 3 → = u 1 → + u 2 → + u 3 →

Passo 1

Pela expressão:

v 1 → = u 1 → v 2 → = u 1 → + u 2 → v 3 → = u 1 → + u 2 → + u 3 →

Podemos reorganizar da seguinte forma:

v 1 → = u 1 → v 2 → = u 1 → + u 2 → v 3 → = u 1 → + u 2 → + u 3 →

Colocamos em forma matricial:

v 1 → v 2 → v 3 → = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 u 1 → u 2 → u 3 →

Vamos chamar a matriz de P

P = 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Passo 2

A transformação   T B ' é semelhante à T B , então:

  T B ' = P - 1 T B P

T B ' = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 - 1 - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Calculamos a inversa:

T B ' = 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1 - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

E resolvemos o produto matricial:

T B ' = - 4 0 9 1 0 - 2 0 1 1

Resposta

T B ' = - 4 0 9 1 0 - 2 0 1 1

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