Enunciado

Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e

P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2

A matriz de transição de B ' para B

  1. Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1 , u 2 , u 3
  2. Expresse u 1 , u 2 , u 3   como combinação linear de v 1 , v 2 , v 3

Passo 1

Se P é uma matriz de transição, então:

v 1 → v 2 → v 3 → = u 1 → u 2 → u 3 → 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2

Logo, basta inverter a matriz:

u 1 → u 2 → u 3 → = v 1 → v 2 → v 3 → 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 - 1

Passo 2

Vamos utilizar a Eliminação Gaussiana. Vamos pegar a segunda linha e subtrair duas vezes na primeira linha

1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 0 - 3 - 5 1 1 4 0 1 2

Vamos trocar a primeira e segunda linhas:

0 1 0 1 - 2 0 0 0 1 1 1 4 0 - 3 - 5 0 1 2

Vamos pegar a terceira linha e vamos subtrair uma vez na primeira linha. Depois, vamos pegar a terceira linha e somar três vezes na segunda linha:

0 1 - 1 1 - 2 3 0 0 1 1 0 2 0 0 1 0 1 2

Vamos inverter a segunda e terceira linha:

0 1 - 1 0 0 1 1 - 2 3 1 0 2 0 1 2 0 0 1

Vamos pegar a terceira linha, e subtrair duas vezes na primeira e na segunda linha

- 2 5 - 7 - 2 4 - 5 1 - 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Agora eu temos a inversa:

u 1 → u 2 → u 3 → = v 1 → v 2 → v 3 → - 2 5 - 7 - 2 4 - 5 1 - 2 3

Resolvendo o produto matricial, podemos expressar u 1 , u 2 , u 3   como combinação linear de v 1 , v 2 , v 3

u 1 → = - 2 v 1 → - 2 v 2 → + 5 v 3 u 2 → = - 5 v 1 → + 4 v 2 → - 5 v 3 → u 3 → = - 7 v 1 → - 5 v 2 → + 3 v 3 →

Resposta

u 1 → = - 2 v 1 → - 2 v 2 → + 5 v 3 u 2 → = - 5 v 1 → + 4 v 2 → - 5 v 3 → u 3 → = - 7 v 1 → - 5 v 2 → + 3 v 3 →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se U ,V e W são subespaços vetoriais do mesmo espaço, mostrar que U ∩ V + U ∩ W ⊆ U ∩ ( V + W ) . Descubra um exemplo para o qual o primeiro membro dessa relação é diferente do segundo e um exemplo on
Mostrar que o espaço vetorial R ∞ não é finitamente gerado.
Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
Mostrar que os dois conjuntos { 1 , - 1,2 , 3,0 , 1 } e - 1 , - 2,3 , ( 3,3 , - 4 ) geram o mesmo sub-espaço vetorial do R 3 .
Mostrar que os polinômios 1 - t ,1 - t 2 , 1 - t 3 e 1 geram P 3 R .