Enunciado

Sejam

D = [[[1,0],[0,-,1]]] e P = [[[cos theta,sin theta],[-,sin theta,cos theta]]]

Sabendo-se que A = P^t D P , calcule D^2 , P P^t e A^2 .

Passo 1

Vamos começar por D^2 , sabemos que:

D^2 = D * D

Dessa forma:

D^2 = [[[1,0],[0,-,1]]] * [[[1,0],[0,-,1]]]

Realizando o produto matricial:

[[[1,0],[0,-,1]]] * [[[1,0],[0,-,1]]] = [[[1,*,1,+,0,*,0,1,*,0,+,0,*,(,-,1,)],[0,*,1,+,(,-,1,),*,0,0,*,0,+,(,-,1,),*,(,-,1,)]]]

[[[1,0],[0,-,1]]] * [[[1,0],[0,-,1]]] = [[[1,0],[0,1]]]

Passo 2

Resolvendo agora P P^t :

A transposta de P é tal que:

P^t = [[[cos theta,- sin theta],[sin theta,cos theta]]]

Assim, o produto matricial é tal que:

P P^t = [[[cos theta,sin theta],[-,sin theta,cos theta]]] * [[[cos theta,- sin theta],[sin theta,cos theta]]] =

= [[[cos theta,*,cos theta,+,sin theta,*,sin theta,cos theta * ( - sin theta ),+,sin theta,*,cos theta],[-,sin theta,*,cos theta,+,cos theta,*,sin theta,-,sin theta,*,(- sin theta),+,cos theta * cos theta]]] =

= [[[( cos theta )^2,+,( sin theta )^2,sin theta,*,cos theta,-,sin theta,*,cos theta],[sin theta,*,cos theta,-,sin theta,*,cos theta,( sin theta )^2,+,( cos theta )^2]]]

A partir das propriedades trigonométricas:

P P^t = [[[1,0],[0,1]]]

Passo 3

Por fim, vamos realizar a conta A^2 , que sabemos que é o mesmo que

A^2 = A * A

No entanto, primeiro é necessário encontrar a matriz A, que nos foi dado que é:

A = P^t D P

Assim:

A = [[[cos theta,- sin theta],[sin theta,cos theta]]] * [[[1,0],[0,-,1]]] * [[[cos theta,sin theta],[-,sin theta,cos theta]]]

Realizando o produto matricial em partes:

[[[cos theta,- sin theta],[sin theta,cos theta]]] * [[[1,0],[0,-,1]]] = [[[cos theta,*,1,+,( - sin theta,),*,0,cos theta * 0,+,(,-,sin theta,),*,(,-,1,)],[sin theta,*,1,+,cos theta,*,0,sin theta,*,0,+,cos theta * ( - 1 )]]]

[[[cos theta,- sin theta],[sin theta,cos theta]]] * [[[1,0],[0,-,1]]] = [[[cos theta,sin theta],[sin theta,-,cos theta]]]

Partindo para o segundo produto matricial:

[[[cos theta,sin theta],[sin theta,-,cos theta]]] * [[[cos theta,sin theta],[-,sin theta,cos theta]]] =

[[[cos theta,*,cos theta,+,sin theta,*,( - sin theta ),cos theta * sin theta,+,sin theta,*,cos theta],[sin theta,*,cos theta,+,( - cos theta ),*,(,-,sin theta ),sin theta,*,sin theta,+,( - cos theta ) * cos theta]]]

Pelas propriedades trigonométricas:

A = [[[cos ( 2 theta ),sin ( 2 theta )],[sin ( 2 theta ),-,cos ( 2 theta )]]]

Por fim, elevando ao quadrado:

A^2 = A * A = [[[cos ( 2 theta ),sin ( 2 theta )],[sin ( 2 theta ),-,cos ( 2 theta )]]] * [[[cos ( 2 theta ),sin ( 2 theta )],[sin ( 2 theta ),-,cos ( 2 theta )]]]

[[[cos ( 2 theta ),sin ( 2 theta )],[sin ( 2 theta ),-,cos ( 2 theta )]]] * [[[cos (2 theta),sin (2 theta)],[sin (2 theta),-,cos (2 theta)]]] =

= [[[cos ( 2 theta ),*,cos ( 2 theta ),+,sin ( 2 theta ),*,sin ( 2 theta ),cos ( 2 theta ) * sin ( 2 theta ),+,sin ( 2 theta ),*,(,-,cos (2 theta),)],[sin ( 2 theta ),*,cos (2 theta),+,(,-,cos (2 theta),),*,sin ( 2 theta ),sin ( 2 theta ),*,sin ( 2 theta ),+,(,-,cos (2 theta),),*,(,-,cos (2 theta),)]]]

Pelas propriedades trigonométricas:

A^2 = [[[1,0],[0,-,1]]]

Resposta

D^2 = P P^t = A^2 = [[[1,0],[0,-,1]]]

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