Enunciado

Considere as seguintes matrizes:

A = - 3 2 1 1 2 - 1 , B = 2 - 1 2 0 0 3 , C = - 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 , D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3

E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 , E 3 = 0 0 1

Verifique que:

f) Escrevendo A em termos das duas linhas A 1 = - 3 2 1 e A 2 = 1 2 - 1 , o produto AB pode ser escrito como AB = A 1 A 2 B = A 1 B A 2 B .

Passo 1

Nessa questão, usamos a definição de produto entre duas matrizes. Podemos notar que o número de linhas da matriz B é igual ao número de colunas da matriz A, ou seja, é possível realizar a multiplicação das matrizes A e B.

AB = - 3 ∙ 2 + 2 ∙ 2 + 1 ∙ 0 - 3 ∙ - 1 + 2 ∙ 0 + 1 ∙ 3 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2 + ( - 1 ) ∙ 0 1 ∙ - 1 + 2 ∙ 0 + ( - 1 ) ∙ 3

AB = - 6 + 4 + 0 3 + 0 + 3 2 + 4 + 0 - 1 + 0 - 3

AB = - 2 6 6 - 4

Passo 2

Agora, resolvendo A 1 A 2 B , podemos tratar o B como um escalar, de forma a obter:

A 1 A 2 B = A 1 B A 2 B

Passo 3

Realizando as multiplicações A 1 B e A 2 B :

A multiplicação de A 1 por B pode ser dada por:

A 1 B =   - 3 2 1   ∙ 2 - 1 2 0 0 3

A 1 B =   - 3 ∙ 2 + 2 ∙ 2 + 1 ∙ 0 - 3 ∙ - 1 + 2 ∙ 0 + 1 ∙ 3

A 1 B =   - 6 + 4 + 0 3 + 0 + 3

A 1 B =   - 2 6

E a multiplicação de A 2 por B pode ser dada por:

A 2 B =   1 2 - 1   ∙ 2 - 1 2 0 0 3

A 2 B =   1 ∙ 2 + 2 ∙ 2 + ( - 1 ) ∙ 0 1 ∙ - 1 + 2 ∙ 0 + ( - 1 ) ∙ 3

A 2 B =   2 + 4 + 0 - 1 + 0 - 3

A 2 B =   6 - 4

Passo 4

Por fim, a matriz resultante, dadas as multiplicações A 1 B e A 2 B é tal que:

A 1 B A 2 B =   - 2 6 6 - 4

Resposta

Comparando os resultados de AB e A 1 B A 2 B tem-se que:

AB = A 1 A 2 B = A 1 B A 2 B =   - 2 6 6 - 4

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