Enunciado

Sejam E e a como na Definição 22 - 1 . Prove que:

  1. Os focos e o centro de E não pertencem a E ;
  2. Nenhum ponto do segmento focal de E pertence a E ;
  3. Existem precisamente dois pontos A 1 e A 2 da reta focal de E que pertencem a E ;
  4. Se P Q é uma corda qualquer de E , então d P , Q ≤ 2 a ;
  5. A única corda de E de comprimento 2 a é A 1 A 2

Passo 1

Bom, uma questão como esta é complicada pois não temos nenhum sistema de coordenadas para nos ajudar a provar cada um dos pontos.

Por causa disto, temos que utilizar a definição e algumas relações geométricas para provar cada um dos itens.

Começando pela letra a), vamos verificar que os focos e o centro não pertencem a elipse. Para isto, vamos utilizar aqui a definição de uma elipse. Ela é dada por:

d X , F 1 + d X , F 2 = 2 a

Sendo d F 1 , F 2 = 2 c < 2 a . Agora que já sabemos esta definição, vamos supor que X = F 1 (vale para qualquer um dos focos, mas se a gente prova pra um, já satisfaz o nosso problema).

Portanto, se a gente substitui esta relação na definição da elipse, temos:

d F 1 , F 1 + d F 1 , F 2 = 2 a

0 + 2 c = 2 a

2 c = 2 a

E assim obtemos uma equação que é claramente uma mentira, pois, por definição, 2 c < 2 a .

Agora, vamos supor que o ponto é o centro da elipse. Portanto, X = C . Sabemos que a distância do centro para cada um dos focos é c . Ao fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, temos:

d C , F 1 + d C , F 2 = 2 a

c + c = 2 a

2 c = 2 a

Outra mentira. Portanto, nem os focos nem o centro pertencem a elipse!

Passo 2

Se um ponto pertence ao segmento focal, ele satisfaz a seguinte relação:

X = F 1 + λ F 1 F 2 →

É exatamente a equação de uma reta. Só que, para este caso, 0 < λ < 1 , pois X pertence ao segmento F 1 F 2 .

Vamos fazer o mesmo que fizemos no passo anterior para resolver a letra a). Vamos substituir o ponto X na definição da elipse. Portanto,

d X , F 1 + d X , F 2 = 2 a

| | λ F 1 F 2 → | | + | | ( 1 - λ ) F 1 F 2 → | | = 2 a

λ ⋅ | | F 1 F 2 → | | + 1 - λ ⋅ | | F 1 F 2 → | | = 2 a

λ ⋅ 2 c + 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

Como 0 < λ < 1 , podemos tirar as relações acima do módulo. Portanto,

λ ⋅ 2 c + 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

2 c = 2 a

Novamente, chegamos a uma mentira. E assim, provamos que este caso não pode ocorrer!

Passo 3

Agora, vamos descobrir que apenas dois pontos da reta focal pertencem a elipse. No caso, estes dois pontos são os dois vértices.

O procedimento é semelhante ao do passo anterior, só muda os valores que λ assume. Portanto, vamos importar a relação que obtivemos próximo do fim do Passo 2. Ela é:

λ ⋅ 2 c + 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

Vamos agora verificar quando λ > 1 . Para este caso, temos:

λ ⋅ 2 c - 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

λ ⋅ 2 c + λ - 1 ⋅ 2 c = 2 a

2 c ⋅ 2 λ - 1 = 2 a

Então, como a > c > 0 , existirá um valor de λ que satisfaça a relação acima! Este ponto será exatamente um dos vértices.

Agora, verificaremos quando λ < 0 . Para este caso, temos:

- λ ⋅ 2 c + 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

2 c ⋅ 1 - 2 λ = 2 a

Novamente, existirá um valor de λ que satisfaça a relação acima! Este ponto será exatamente um dos vértices.

Assim, provamos o que a questão nos pede.

Passo 4

Devemos verificar agora se, dada uma corda P Q qualquer da elipse, ela satisfaz d P , Q ≤ 2 a .

Para isto, precisaremos checar uma propriedade triangular. Vamos formar dois triângulos: P Q F 1 e P Q F 2 . Aplicando a propriedade triangular, temos:

d P , Q ≤ d P , F 1 + d Q , F 1 d P , Q ≤ d P , F 2 + d Q , F 2

Somando ambas as equações, temos:

2 ⋅ d P , Q ≤ d P , F 1 + d Q , F 1 + d P , F 2 + d Q , F 2

2 ⋅ d P , Q ≤ d P , F 1 + d P , F 2 + d Q , F 1 + d Q , F 2

Aplicando a definição da elipse, visto que P e Q pertencem a ela, temos:

2 ⋅ d P , Q ≤ 2 a + 2 a = 4 a

d P , Q ≤ 2 a

E assim, chegamos na relação pedida na questão!

Passo 5

Para finalizarmos a questão, temos que verificar o que temos de fazer na propriedade triangular para que ela não seja uma inequação, mas sim uma equação.

Isto é, queremos verificar o que deve ocorrer com os pontos P e Q para que a seguinte relação aconteça:

d P , Q = d P , F 1 + d Q , F 1 d P , Q = d P , F 2 + d Q , F 2

Bom, isto só ocorrerá se os pontos P , Q , F 1 e F 2 forem colineares. E assim, percebemos que os únicos pontos P e Q pertencentes a elipse e colineares com a reta focal são os vértices A 1 e A 2 . Portanto, só existe uma única corda que satisfaça a relação dada!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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