Enunciado

Mostre que:

  1. Dentre as cordas perpendiculares à reta focal, B 1 B 2 é a de maior comprimento, 2b;
  2. A amplitude focal da elipse é 2 b 2 / a .

Passo 1

Vamos lá! Estamos trabalhando aqui com uma elipse. Vamos começar provando o comprimento da maior corda perpendicular à reta focal.

Para facilitarmos a nossa vida, vamos assumir que a elipse está centrada na origem e com focos no eixo O x (isto não impacta na nossa análise em problema nenhum).

Portanto, a nossa elipse possui a seguinte equação:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

E focos nos pontos F = ± c , a , onde c = a 2 + b 2 .

Um ponto X pertence a reta focal se e somente se ele tem coordenadas X = x 0 , 0 , sendo - c < x 0 < c . Vamos agora descobrir as coordenadas y de um ponto A que possui a mesma coordenada x 0 deste ponto X , só que pertence a elipse (satisfaz a sua equação). Portanto,

x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1

y 0 2 = b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2

y 0 = ± b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2

Passo 2

Assim conseguimos dois pontos: A = x 0 , b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2 e B = x 0 , - b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2 .

A distância entre estes dois pontos será o comprimento da corda, o que será função de x 0 . Portanto,

d A , B = x 0 - x 0 2 + b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2 - - b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2 2

d A , B = 0 2 + 2 b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2 2

d A , B = 2 b 2 ⋅ 1 - x 0 2 a 2

Temos que maximizar esta função d A , B , e a única forma é fazendo x 0 = 0 . Se fizermos isto, teremos:

d A , B = 2 b 2 ⋅ 1 - 0 = 2 b

E os pontos A = 0 , b e B = 0 , - b ! Portanto, o maior comprimento da corda perpendicular à reta focal é 2 b , o que corresponde ao comprimento do eixo menor!

Passo 3

Agora, vamos determinar a amplitude focal de uma elipse. Mas como proceder em relação a isso?

Antes de tudo. O que é a amplitude focal???

Bom, amplitude focal nada mais é do que uma corda da elipse (toca em dois pontos) e que é perpendicular ao segmento focal passando pelos focos.

Portanto, nosso trabalho é identificar quais são as coordenadas destes pontos que pertencem a elipse e são perpendiculares ao segmento focal e depois calcularmos a distância entre dois pontos!

E bom, podemos fazer isto de uma forma bem simples. Vamos analisar para os pontos C e D , que possuem a mesma coordenada x 0 de algum dos focos. Iremos escolher o foco F = c , 0 .

Percebam que tanto faz trabalhar com o foco F = - c , 0 , a resposta é exatamente a mesma.

Portanto, temos C = ( c , β ) e D = c , - β , sendo β > 0 . Nosso trabalho agora é descobrir quem é este β que satisfaça a equação da elipse, visto que assumimos que o ponto C e D pertencem a elipse!

Passo 4

Vamos descobrir agora quem é este β das coordenadas de C .   Então, basta substituirmos as coordenadas de C na equação da elipse! Portanto,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

c 2 a 2 + β 2 b 2 = 1

β 2 b 2 = 1 - c 2 a 2

β 2 = b 2 ⋅ a 2 - c 2 a 2

Só que c 2 = a 2 - b 2 , pela definição da elipse. Portanto,

β 2 = b 2 ⋅ a 2 - a 2 - b 2 a 2

β 2 = b 2 ⋅ b 2 a 2

β = b 2 a

Assumimos apenas o valor positivo, pois assumimos antes que β > 0 . Portanto, temos os seguintes pontos:

C = c , b 2 a

D = c , - b 2 a

OBS: Se tivéssemos analisados os pontos em relação ao foco F = - c , 0 , a única diferença das coordenadas dos pontos seria a coordenada x , que teria o valor - c . O valor de β também seria ± b 2 / a .

Agora, só nos resta calcularmos a distância dos dois pontos para sabermos o comprimento do segmento focal. Portanto,

d A , B = c - c 2 + b 2 a - - b 2 a 2

d A , B = 0 2 + b 2 a + b 2 a 2

d A , B = 0 2 + 2 b 2 a 2 = 2 b 2 a

E assim provamos a relação da questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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