Enunciado

Sejam u e v dois vetores linearmente independentes do R 3 .   Mostrar que existem dois, e apenas dois vetores de norma igual a 1 que são ortogonais simultaneamente a u e v .

Passo 1

Belezoca de motoca galera, sabemos que para um vetor ser ortogonal a outro, o produto interno entre eles tem de ser nulo, e além disso, se queremos que ele tenha norma igual a 1, devemos dividir o vetor pela sua norma.

Passo 2

Show de bola, sabendo disso, temos que u e v pertencem a R ³ e seja u = ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 ) e v = v 1 ,   v 2 ,   v 3 . Vamos chamar de w = ( a ,   b ,   c ) o vetor ortogonal a eles, logo

u ,   w = ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 )   ,   ( a ,   b ,   c ) = a u 1 + b u 2 + c u 3 = 0

v ,   w = ( v 1 ,   v 2 ,   v 3 )   ,   ( a ,   b ,   c ) = a v 1 + b v 2 + c v 3 = 0

Passo 3

Agora falta vermos a propriedade da norma desse vetor, como queremos que ela seja igual a 1, temos que normalizar esse vetor w

w ^ = w w = a ,   b ,   c a 2 + b 2 + c 2

Mas agora que vem a parte legal hueheu perceba ali no denominador que temos uma raiz quadrada, só que uma raiz quadrada sempre retorna pra gente DOIS valores, um negativo e um positivo, por exemplo 4 = ± 2 , então o resultado da raiz que normaliza w , a 2 + b 2 + c 2 , vai nos retornar dois valores opostos. O que faz com que tenhamos dois, e apenas dois vetores ortogonais a u e v .

Resposta

Demonstração

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Sabendo que: I B A = - 1 4 4 - 11e B = 3 ,5 ,1 ,2 , determine a base A .
Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B . T :R 2 → R 2 ,T x , y = ( 2 x - 3
Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B . T :R 2 → R 2 ,T x , y = ( 7 x - 4
Quais dos seguintes operadores são ortogonais? T :R 3 → R 3 , T x , y , z = x , y , z