Enunciado

Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B .

T :   R 2 → R 2 ,       T x , y = ( 7 x - 4 y , - 4 x + y )

A = 1 ,   0 ,   0 ,   1         e         B = { - 2 ,   1 ,   1 ,   2 }

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para encontrarmos as matrizes de transformação nas bases A e B .

Vamos fazer primeiro na base A . Note que ela é a base canônica, o que simplifica muito as coisas:

T 1 ,   0 = ( 7 ,   - 4 )

T 0 ,   1 = ( - 4 ,   1 )

Esses vetores serão as colunas da matriz:

T A = 7 - 4 - 4 1

Passo 2

Para achar T B , vamos usar a relação entre matrizes semelhantes:

T B = M - 1   T A   M ,

Onde M = I A B é a matriz de mudança de base de B para A . Para construir essa matriz, temos que escrever os vetores de B na base A (que é a canônica):

- 2 ,   1 = - 2 ,   1 A

1 ,   2 = 1 ,   2 A

Portanto,

M = I A B = - 2 1 1 2

Para inverter essa matriz, lembre-se do macete para matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

M - 1 = 1 - 5 2 - 1 - 1 - 2 = 1 5 - 2 1 1 2

Passo 3

Com isso, podemos finalmente fazer

T B = M - 1   T A   M = 1 5 - 2 1 1 2 ⋅ 7 - 4 - 4 1 ⋅ - 2 1 1 2

Assim,

T B = 1 5 - 2 1 1 2 ⋅ - 18 - 1 9 - 2

Logo,

T B = 1 5 45 0 0 - 5

Portanto,

T B = 9 0 0 - 1

Resposta

T A = 7 - 4 - 4 1

T B = 9 0 0 - 1

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