Enunciado

Sejam r : X = 1 ,   0 ,   2 + λ ( 2 ,   1 ,   3 ) e s : X = 0 ,   1 ,   - 1 + λ ( 1 ,   m ,   2 m ) . Estude, segundo os valores de m , a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas.

Passo 1

Primeiro vamos ver quando as retas vão ser paralelas ok?

Para isso:

1 ,   m ,   2 m = α ( 2 ,   1 ,   3 )

1 ,   m ,   2 m = ( 2 α ,   α ,   3 α )

Igualando as coordenadas:

2 α = 1 α = m 3 α = 2 m

Da primeira equação, temos α = 1 2 , da segunda temos m = 1 2 , mas na terceira, teríamos

3 . 1 2 = 2 . 1 2

3 2 ≠ 1

Chegamos em uma desigualdade, então o sistema não é possível e portanto não existe m tal que os vetores sejam LD ok?

Então já sabemos que as retas sempre vão ser reversas ou concorrentes hehe

Passo 2

Seja A = 1 ,   0 ,   2 da reta r e B = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) da reta s , temos A B → = B - A = ( - 1 ,   1 ,   - 3 ) .

Vamos calcular o determinante de linhas r → ,   s → ,   A B → :

2 1 3 1 m 2 m - 1 1 - 3 = - 9 m + 6

Sabemos que quando esse determinante for 0, as retas serão concorrentes:

- 9 m + 6 = 0

9 m = 6

m = 6 9 = 2 3

Então, para m = 2 3 , as retas são concorrentes, e para m ≠ 2 3 , elas são reversas :D

Passo 3

Como as retas sempre serão concorrentes ou reversas, só podemos encontrar um plano para o caso em que são concorrentes, ou seja, quando m = 2 3 :

r : X = 1 ,   0 ,   2 + λ ( 2 ,   1 ,   3 ) e s : X = 0 ,   1 ,   - 1 + λ 1 , 2 3 , 4 3

O plano formado pelas duas retas terá como vetor normal o produto vetorial dos vetores diretores das retas:

2 ,   1 ,   3 ∧ 1 , 2 3 , 4 3 = - 2 3 , 1 3 , 1 3

Então, a equação geral do plano é escrita assim:

- 2 3 x + 1 3 y + 1 3 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 ,   0 ,   2 ) de r na equação do plano, pois esse ponto também pertence ao plano certo?

- 2 3 . 1 + 1 3 . 0 + 1 3 . 2 + d = 0

d = 0

Então:

- 2 3 x + 1 3 y + 1 3 z = 0

Resposta

Para m = 2 3 , as retas são concorrentes, e para m ≠ 2 3 , elas são reversas.

Quando as retas são concorrentes, temos o plano - 2 3 x + 1 3 y + 1 3 z = 0

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Apresentar a equação paramétricas da projeção a reta r 1 : y = 5 x - 7 z = - 2 x + 6 sobre o plano x y .
Dados o ponto A = ( 3,4 , - 2 ) e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r .
Obter equações reduzidas na variável x , da reta: d ) dada por: x = 2 - t y = 3 t z = 4 t - 5
Determinar o ponto da reta r : x - 1 2 = y + 3 - 1 = z 4 que possui:b) Ordenada 2 .
Obter equações reduzidas na variável x , da reta:Que passa pelos pontos A ( 1 , - 2,3 ) e B ( 3 , - 1 , - 1 ) .