Enunciado

Sejam A uma matriz mxn e B ≠   0 uma matriz mx1.

b) Seja solução particular do sistema AX = B. Mostre que toda solução X do sistema AX = B pode ser escrita como X = X 0 + Y, em que Y é uma solução do sistema homogêneo associado, AX = 0. Assim, a solução geral do sistema AX = B é a soma de uma solução particular de AX = B com a solução geral do sistema homogêneo associado AX = 0.

Passo 1

Seja X’ uma variável que representa toda solução possível para o sistema AX = B.

Sabendo que X 0 é uma das soluções de AX = B, podemos escrever X’ como:

X’ = X 0 + (X’ – X 0 )

Pois X 0 + (X ’–   X 0 ) = X 0   –   X 0 + X’ = 0 + X’ = X’.

Passo 2

Analisando agora o sistema homogêneo:

AX = 0

X’ – X 0 é solução desse sistema, visto que:

A(X’– X 0 ) = AX’ – A X 0

Como tanto X’ quanto X 0 são soluções de AX = B, então AX’ = B e A X 0 = B, logo:

A(X’ – X 0 ) = AX’ – A X 0 = B – B

Assim:

A(X’ – X 0 ) = 0

Passo 3

Retornando ao passo 1:

X’ = X 0 + (X’ – X 0 )

Em que X’ é uma variável que representa toda solução possível para o sistema AX = B.

Realizando a mudança das variáveis para as variáveis dadas na questão:

X é toda solução do sistema AX = B, ou seja, X = X’.

Y é solução do sistema homogêneo AX = 0.

X’ = X 0 + (X’ – X 0 ) X = X 0 + Y

Resposta

X = X 0 + Y

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