Enunciado

Prove que:

b) Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria).

Passo 1

Primeiro, vamos começar pela definição de equivalência por linhas:

Uma matriz A é equivalente por linhas a uma matriz B se B pode ser obtida aplicando-se operações elementares sobre as linhas da matriz A.

Passo 2

Sabemos que as operações elementares são:

Permutar duas linhas de uma matriz;

Multiplicar uma linha da matriz por um escalar não nulo;

Somar uma linha da matriz a outra linha multiplicada por um escalar não nulo.

Todas essas operações possuem operações inversas a elas:

Permutar novamente as duas linhas;

Multiplicar a linha da matriz pelo inverso do escalar ( α - 1 );

Somar uma linha da matriz a outra multiplicada pelo escalar negativo (- α ).

Dessa forma, é possível realizar o caminho A → B e também o caminho B → A .

Resposta

As operações elementares possuem operações inversas a elas que permitem que se consiga obter tanto B a partir de A, quanto A a partir de B.

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