Enunciado

Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove:

  1. A T e B T são semelhantes.
  2. Se A e B forem invertíveis, então A - 1 e B - 1 são semelhantes.

Passo 1

Se A e B   são matrizes semelhantes, então podemos expressar da seguinte forma:

A = P B P - 1

Então, vamos aplicar a inversa de ambos os lados:

A - 1 = P B P - 1 - 1

E vamos distribuir a inversão:

A - 1 = P B - 1 P - 1 - 1

A - 1 = P - 1 B - 1 P - 1 - 1

Como sabemos, ao inverter duas vezes uma matriz, voltamos a matriz original, ou seja P - 1 - 1 = P . Vamos aplicar:

A - 1 = P - 1 B - 1 P

Isso demonstra que se A e B forem invertíveis, então A - 1 e B - 1 são semelhantes

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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