Enunciado

Sejam vec a e vec b nao-nulos.

(a) Prove que p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec u . vec v)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v .

Passo 1

Bora lá!

Neste exercício, queremos provar p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec u . vec v)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v , sendo vec u e vec v não nulos, certo?

Passo 2

Primeiramente, vamos usar a definição de projeção ortogonal para escrevermos a expressão de cada projeção ortogonal. Em seguida, usaremos a propriedade associativa de produto escalar para simplificar a expressão resultante.

p r o j_vec u vec v = (vec v . vec u)/(|vec u|^2) vec u

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u))/(|vec u|^2) vec u) . vec v)/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u) ( vec u . vec v ))/(|vec u|^2)))/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u)^2)/(|vec u|^2)))/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec v . vec u)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v

Passo 3

Como pode ser visto na demostração acima, fica provado que p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec u . vec v)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dados os vetores u → = ( 2 , - 3 , - 1 ) e v → = ( 1 , - 1,4 ) , calcular: 2 u → * ( - v → )
Sejam os vetores vec u = (2 , a , - 1) , vec v = ( 3,1 , - 2 ) e vec w = ( 2 a - 1 , - 2,4 ) . Determinar a de modo que vec u * vec v = (vec u + vec v) * (vec v + vec w)
Dados os pontos A 4,0 , - 1 , B ( 2 , - 2,1 ) e C ( 1,3 , 2 ) e os vetores u → = 2,1 , 1 e v → = ( - 1 , - 2,3 ) , obter o vetor x → tal que: 3 x → + 2 v → = x → + A B → ∙ u → v →
Dados os vetores vec u = ( 2 , - 3 , - 1 ) e vec v = ( 1 , - 1,4 ) b) (vec u + 3 vec v) * ( vec v - 2 vec u )
Sabendo que |vec u| = 2 , |vec v| = 3 e vec u . vec v = - 1 , calcular:(vec u - 3 vec v) . vec u