Enunciado

Sejam B = V 1 , … , V n   e   C = { W 1 , . . , W n } duas bases ortonormais de um espaço vetorial com produto interno V real.

a) mostre que a matriz mudança de base de B   p a r a   C   é  

P = p i j n   x   n ,   e m   q u e   p i j = V j , W i ,   p a r a   i , j = 1 , … , n .

b) mostre que V i , V j = ∑ k = 1 n ( V i , W k ) ( V j , W k ) .

c) Mostre que P é uma matriz ortogonal, ou seja, que P - 1 = P t .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja B = V 1 , … , V n   e   C = { W 1 , . . , W n } duas bases ortonormais de um espaço vetorial com produto interno V real.

a) mostre que a matriz mudança de base de B   p a r a   C   é  

P = p i j n   x   n ,   e m   q u e   p i j = V j , W i ,   p a r a   i , j = 1 , … , n .

b) mostre que V i , V j = ∑ k = 1 n ( V i , W k ) ( V j , W k ) .

c) Mostre que P é uma matriz ortogonal, ou seja, que P - 1 = P t .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para mostrar que a matriz mudança de base de B para C é

P = p i j n   x   n ,   e m   q u e   p i j = V j , W i ,   p a r a   i , j = 1 , … , n .

Sendo,

P t = t n + a n - 1 n - 1 + … + a 0

Na letra (b) para mostrar que,

< V i , V j >   = ∑ k = 1 n < V i , W k > < V j , W k >

Temos,

∑ i = 1 n x i 2 + y i 2 - a x i - b y i - c 2

Ficando,

∑ i = 1 n x i + a x i - b 2

E por fim na letra ( c ) para mostra que,

P - 1 = P t , temos

P t . P = I n ficando,

P - 1 = p i j n   x   n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) P t = t n + a n - 1 n - 1 + … + a 0

b) ∑ i = 1 n x i + a x i - b 2

c) P - 1 = p i j n   x   n

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