Enunciado

Sejam H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , θ um número do intervalo [ 0 , π [ , α = a 2 s e n 2 θ - b 2 cos 2 ⁡ θ , e u → = ( cos ⁡ θ , s e n   θ ) .

( a ) Prove que, se α < 0 , qualquer reta r paralela a u → é secante a hipérbole

( b ) Supondo que α > 0 , prove que existem duas retas tangentes paralelas a u → e calcule sua distância δ ao centro da hipérbole, em função de a , b ,   θ .

( c ) Seja r uma reta paralela a u → . Supondo que α > 0 , prove que r é secante a H se d O , r > δ e que r ∩ H = ∅ se d O , r < δ

Passo 1

Pelos dados do enunciado u → = m , n = cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   p = a 2 ,   q = - b 2 , então se aplicarmos em:

Δ = 4 p q - n h - m k 2 + q m 2 + p n 2

Substituindo o que conhecemos e fazendo Δ > 0 para encontrar a reta secante nós teremos:

Δ = - h s e n   θ - k c o s   θ 2 - b 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 s e n 2 θ > 0

Então:

α < - h s e n   θ - k c o s   θ 2

Fazendo em θ = 0 ( s e n θ = 0 e k = 0 ) nós teremos:

α < 0

Em qualquer outro θ no intervalo fica um tanto complicado de ver isso mas somente em um valor estará válido, já que é um valor limite.

Passo 2

Fazendo Δ = 0 para encontrar as tangentes nós teremos:

α = - h s e n   θ - k c o s   θ 2

E o valor de δ da distância entre o centro da hipérbole e o ponto ( h , k ) é dada por δ = h s e n   θ - k c o s   θ , pois é a projeção do ponto nos eixos pelo vetor diretor, logo:

δ = α

Passo 3

Fazendo Δ > 0 nós teríamos:

α < - h s e n   θ - k c o s   θ 2

a < d ( O < r )

E que já foi feito e que é a secante, logo:

δ < d ( O , r )

E para Δ < 0 que é a reta exterior a hipérbole:

α > - h s e n   θ - k c o s   θ 2

δ > d ( O , r )

Resposta

b )   δ = α

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Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices. A = 6 , 7 , B = - 1,0 . A
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