Enunciado

( a ) O paralelogramo A B C D tem os lados A B e D C paralelos ao eixo transverso da hipérbole H : x 2 3 - y 2 2 = 1 e os lados A D e B C contidos em retas tangentes a H . Os pontos de tangência têm coordenadas inteiras, e um dos lados tem comprimento 2 2 . Conhecendo A = - 4 , - 5 , determine B , C e D .

( b ) Resolva o item ( a ) , com ‘’eixo conjugado’’ em lugar de ‘’eixo transverso’’

Passo 1

Sabendo que o eixo conjugado é o eixo perpendicular do transversal então temos que as retas A B e B C estão na direção do eixo y .

As retas tangentes terão o mesmo sentido da letra anterior , já que uma dessas retas tem o ponto ( - 4 , - 5 ) .

h x 3 - k y 2 = 1

Aplicando o ponto A nessa equação teremos:

- 4 h 3 + 5 k 2 = 1

Onde ( h , k ) é o ponto de tangência.

- 8 h + 15 k = 6 → k = 6 15 + 8 h 15

E aplicando ( h , k ) na hipérbole nós teremos:

h 2 3 - k 2 2 = 1

Então:

h 2 3 - ( 6 15 + 8 h 15 ) 2 2 = 1

Isso nos dará resultados para h iguais a h = - 1.884 e h = 3 , porém como nos diz que os pontos de tangência são números inteiros então h = 3 , e k será

k = 6 15 + 8 ⋅ 3 15 = 2

Isso nos dará uma equação de reta tangente igual a:

3 x 3 - 2 y 2 = 1

x - y - 1 = 0

Ou

y = x - 1

E a outra reta tangente será y = x + 1 como vimos na letra anterior.

Passo 2

E como o vértice D desse paralelogramo ( x , y ) está a 2 2 de distância do ponto A e pertence a mesma reta y = x - 1 então:

- 4 - x 2 + - 5 - y 2 = 2 2

- 4 - x 2 + - 5 - x + 1 2 = 2 2

16 + 8 x + x 2 + ( 16 + 8 x + x 2 ) = 8

2 x 2 + 16 x + 24 = 0

x 2 + 8 x + 12 = 0

Raízes iguais a x = - 2 e x = - 6 .

Teremos duas posições possíveis para D , uma em x = - 2 e y = - 3 - 1 = - 4 e outra em x = - 4 e y = - 4 - 1 = - 5 .

D :   - 2 , - 3 o u   ( - 6 , - 7 )

Passo 3

Como sabemos a equação da outra reta tangente isso nos permite matar os pontos que estão em retas paralelas ao eixo conjugado como B e C , pois eles estão a dois de distância de A e D respectivamente (a reta y = x - 1 está a duas casas para baixo de y = x + 1 , aplique x = 0 e veja a distância em y das duas retas). Então:

B = - 4 , - 5 + 2 = ( - 4 , - 3 )

C = - 2 , - 3 + 2 = - 2 , - 1 o u   C = - 6 , - 7 + 2 = ( - 6 , - 5 )

Os ponto B e C estão em y = x + 1 , portanto soma-se 2 em y para encontrar suas coordenadas. Para cumprir o paralelismo com o eixo conjugado.

Um gráfico dessa questão pode ser visto abaixo.

Resposta

a )   D : - 2 , - 3 ; B = - 4 , - 3 ; C = - 2 , - 1

Ou

D : - 6 , - 7 ; B = - 4 , - 3 ; C = ( - 6 , - 5 )

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Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado e as equações das assíntotas da hipérbole: 25 x 2 - 144 y 2 = 3600 16 x 2 - 25 y 2 = 400 y 2 - x 2 = 16 9 y 2 - 4 x 2
Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado e as equações das assíntotas da hipérbole: 25 x 2 - 144 y 2 = 3600 16 x 2 - 25 y 2 = 400 y 2 - x 2 = 16 9 y 2 - 4 x 2
Mostre que a amplitude focal da hipérbole é 2 b 2 / a .
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Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado e as equações das assíntotas da hipérbole: 25 x 2 - 144 y 2 = 3600 16 x 2 - 25 y 2 = 400 y 2 - x 2 = 16 9 y 2 - 4 x 2