Enunciado

Sejam p um número real positivo, A e B dois pontos tais que d A , B = p , e n , um número real qualquer. Prove que o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d X , A 2 - d X , B 2 = n é um plano perpendicular ao segmento A B , cuja interseção com a reta A B ou é o ponto B ou é o ponto que divide A , B na razão p 2 + n p 2 - n (para recordar este conceito, volte ao Capítulo 5).

Passo 1

Vamos começar dando coordenadas genéricas para os nossos pontos. Então, seja X = x , y , z , A = a 1 , b 1 , c 1 e B = a 2 , b 2 , c 2 . Queremos então provar que a relação:

d X , A 2 - d X , B 2 = n

Sendo n um número real qualquer, é um plano perpendicular ao segmento A B . Somente depois de verificarmos esta relação é que podemos continuar analisando a interseção deste plano com o segmento A B .

Bom, antes de começarmos a questão em si, fica claro que precisaremos das relações de distância de ponto a ponto. Então, nosso primeiro trabalho é escreve-las. Portanto,

d A , B = a 2 - a 1 2 + b 2 - b 1 2 + c 2 - c 1 2 = p

d X , A = x - a 1 2 + y - b 1 2 + z - c 1 2

d X , B = x - a 2 2 + y - b 2 2 + z - c 2 2

Passo 2

Agora, iremos substituir as relações obtidas no final do Passo 1 na relação eu queremos provar, e depois desenvolve-la. Sendo assim, temos:

d X , A 2 - d X , B 2 = n

x - a 1 2 + y - b 1 2 + z - c 1 2 - x - a 2 2 + y - b 2 2 + z - c 2 2 = n

x 2 - 2 a 1 x + a 1 2 + y 2 - 2 b 1 y + b 1 2 + z 2 - 2 c 1 z + c 1 2 - x 2 - 2 a 2 x + a 2 2 + y 2 - 2 b 2 y + b 2 2 + z 2 - 2 c 2 z + c 2 2 = n

- 2 a 1 x + a 1 2 - 2 b 1 y + b 1 2 - 2 c 1 z + c 1 2 - - 2 a 2 x + a 2 2 - 2 b 2 y + b 2 2 - 2 c 2 z + c 2 2 = n

2 a 2 - a 1 x + 2 b 2 - b 1 y + 2 c 2 - c 1 z + a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 - a 2 2 - b 2 2 - c 2 2 = n

E esta é a equação obtida após desenvolvermos todos os termos. Ela corresponde a equação de um plano π , pois os pontos A e B são pontos distintos.

Portanto, pelo menos uma das diferenças que multiplicam as variáveis x , y e z serão diferentes de zero.

Assim, acabamos de verificar a primeira parte: o lugar geométrico é um plano. Para verificar que é um plano perpendicular ao segmento A B , basta verificar o paralelismo entre o vetor normal ao plano e o vetor A B → . Eles são, respetivamente:

n → = 2 a 2 - a 1 , 2 b 2 - b 1 , 2 c 2 - c 1

A B → = a 2 - a 1 , b 2 - b 1 , c 2 - c 1

Percebe-se facilmente que n → = 2 A B → . Portanto, como os vetores são paralelos, acabamos de provar que o plano π é perpendicular ao segmento A B .

Passo 3

Agora, iremos fazer a interseção do plano π com a reta A B . Nosso primeiro trabalho será construir esta reta em si. Portanto,

r : X = A + λ A B →

r : X = a 1 , b 1 , c 1 + λ a 2 - a 1 , b 2 - b 1 , c 2 - c 1

r : X = a 1 + λ a 2 - a 1 , b 1 + λ b 2 - b 1 , c 1 + λ c 2 - c 1

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto X na equação do plano π . Com isto, temos:

2 a 2 - a 1 a 1 + λ a 2 - a 1 + 2 b 2 - b 1 b 1 + λ b 2 - b 1 + 2 c 2 - c 1 c 1 + λ c 2 - c 1 + a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 - a 2 2 - b 2 2 - c 2 2 = n

2 a 2 a 1 - a 1 2 + λ a 2 - a 1 2 + 2 b 2 b 1 - b 1 2 + λ b 2 - b 1 2 + 2 c 2 c 1 - c 1 2 + λ c 2 - c 1 2 + a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 - a 2 2 - b 2 2 - c 2 2 = n

2 λ a 2 - a 1 2 + b 2 - b 1 2 + c 2 - c 1 2 - a 1 2 - 2 a 2 a 1 + a 2 2 + b 1 2 - 2 b 2 b 1 b 2 2 + c 1 2 - 2 c 2 c 1 + c 2 2 = n

2 λ a 2 - a 1 2 + b 2 - b 1 2 + c 2 - c 1 2 - a 2 - a 1 2 + b 2 - b 1 2 + c 2 - c 1 2 = n

Lembrando da relação de distância entre os pontos A e B , temos:

d A , B = a 2 - a 1 2 + b 2 - b 1 2 + c 2 - c 1 2 = p

d A , B 2 = a 2 - a 1 2 + b 2 - b 1 2 + c 2 - c 1 2 = p 2

Que é exatamente o termo que temos na equação que estamos desenvolvendo! Portanto,

2 p 2 λ - p 2 = n

λ = p 2 + n 2 p 2

Portanto, o ponto P interseção do plano com a reta é:

P = A + λ A B →

P = A + p 2 + n 2 p 2 A B →

Passo 4

Para finalizarmos, vamos determinar a razão que o ponto P divide o segmento A B . A razão será o valor r tal que:

A P → = r P B →

Desenvolvendo esta relação, temos:

P - A = r B - P

Só que B = A + A B → e P = A + p 2 + n 2 p 2 A P → , então,

A + p 2 + n 2 p 2 A B → - A = r A + A B → - A - p 2 + n 2 p 2 A B →

p 2 + n 2 p 2 A B → = r A B → - p 2 + n 2 p 2 A B →

p 2 + n 2 p 2 ⋅ A B → = r ⋅ 1 - p 2 + n 2 p 2 ⋅ A B →

p 2 + n 2 p 2 = r ⋅ p 2 - n 2 p 2

p 2 + n = r ⋅ p 2 - n

r = p 2 + n p 2 - n

Que é exatamente a razão que a questão nos pediu para determinar. Em especial, quando p ≫ n , a razão tende a 1, o que implica no ponto P tender a ser o ponto B .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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