Enunciado

  1. Sejam r a , s 1 e s 2 como no exercício resolvido anterior. Mostre que nenhum ponto de s 2 pertence à reunião das retas r a e que cada ponto de s 1 , com exceção e 0 - b , 0 , pertence a alguma delas.
  2. Prove que o hiperboloide de uma folha Ω : x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1 é uma superfície regrada, utilizando, no lugar das retas r a do exercício anterior, as retas
  3. s β : x a + z c = β 1 - y b β x a - z c = 1 + y b

  4. Prove que a quádrica Ω : x 2 - y 2 - x y + y z = 0 é uma superfície regrada.

Passo 1

Vamos começar relembrando quais as equações de r a , s 1 e s 2 obtidos no exercício resolvido anterior. Então,

r a : x a + z c = α 1 + y b α x a - z c = 1 - y b

s 1 : x a + z c = 0 y = - b

s 2 : x a - z c = 0 y = - b

Passo 2

Agora que descrevemos as equações de cada uma das curvas, vamos começar provando que todos os pontos de s 2 não pertencem a reta r a . Portanto, seja A = x 0 , y 0 , z 0 . A pertence a s 2 se, e somente se:

x 0 a - z 0 c = 0 y 0 = - b ⟹ x 0 = a ⋅ z 0 c y 0 = - b

Então, A = a ⋅ z 0 c , - b , z 0 . Agora, vamos substituir as coordenadas de A na equação de r a e obteremos uma mentira. Portanto, vejamos só:

a ⋅ z 0 c a + z 0 c = α 1 + - b b α a ⋅ z 0 c a - z 0 c = 1 - - b b ⟹ z 0 c + z 0 c = 0 α ⋅ 0 = 1 - - b b ⟹ z 0 c + z 0 c = 0 0 = 2

Então, basta olharmos a segunda equação. 0 = 2 é uma verdade ou mentira? Claro que uma mentira. Além disto, percebam que fizemos para um ponto A genérico de s 2 . Desta forma, podemos concluir que todo ponto de s 2 não pertence a r a .

Agora, vamos repetir o procedimento para a curva s 1 . Portanto, seja agora o ponto A = x 0 , y 0 , z 0 pertencente a curva s 1 . Então,

x 0 a + z 0 c = 0 y 0 = - b ⟹ x 0 = - a ⋅ z 0 c y 0 = - b

Então, A = - a ⋅ z 0 c , - b , z 0 . Agora, vamos substituir as coordenadas de A na equação de r a e iremos analisar o resultado. Portanto, vejamos só:

- a ⋅ z 0 c a + z 0 c = α 1 + - b b α - a ⋅ z 0 c a - z 0 c = 1 - - b b ⟹ - z 0 c + z 0 c = 0 α ⋅ - 2 z 0 c = 1 - - b b ⟹ 0 = 0 z 0 = - c α

Então, temos o ponto A = a α , - b , - c α . Entretanto, percebam que o ponto 0 , - b , 0 , que satisfaz a curva s 1 , não é satisfeito por A , pois a ≠ 0 e c ≠ 0 , por definição.

Portanto, acabamos de verificar que todo ponto de s 1 pertence a curva r a , a não ser o ponto 0 , - b , 0 .

Passo 3

Para provarmos que Ω é uma superfície regrada utilizando s β , é bem simples.

O que vamos fazer é uma pequena mudança, ou melhor, comparação com s β . Ao checarmos que s β e r a consistem no mesmo conjunto de retas, provamos automaticamente que Ω é uma superfície regrada dada pelo conjunto das retas s β .

Então, vejamos a seguinte relação que já sabemos ser uma verdade:

x a + z c x a - z c = 1 + y b 1 - y b

Agora, sem considerar que cada um dos termos é nulo, podemos fazer a seguinte mudança:

x a + z c 1 + y b = 1 - y b x a - z c = α

Se fizermos as devidas multiplicações, obtemos a equação de r a . Se considerarmos α = 0 , vamos obter as equações de s 1 e s 2 .

Agora, a gente poderia ter feito uma pequena mudança na relação anterior. Poderíamos trocar de lugar 1 + y b com 1 - y b . Assim, obteríamos:

x a + z c 1 - y b = 1 + y b x a - z c = β

O que nos dá exatamente a equação de s β . Se considerarmos β = 0 , teremos um par s 1 ' e s 2 ' novos tal que, a união destes três sistemas descreve todos os pontos de Ω , provando assim o que a questão nos pede.

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos provar que Ω : x 2 - y 2 - x y + y z = 0 é uma superfície regrada. Para isto, vamos transformar a equação de Ω em produtos. Isto é:

x 2 - y 2 = x y - y z

x + y x - y = y x - z

Vamos fazer algo bem semelhante com o que fizemos para verificar a letra b). Se x + y ≠ 0 e y ≠ 0 , temos:

x - y y = x - z x + y = δ

Então, temos o conjunto de retas r a dadas por:

r a : x - y = δ y x - z = δ x + y

E aí recaímos sobre um caso modificado do que foi discutido durante toda a questão. Apesar da equação de r a ser um pouco diferente do outro caso, isto não impede que ela descreva todos os pontos X = x , y , z pertencentes a superfície Ω .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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