Enunciado

Sejam a ,   b ,   c ,   d números reais distintos dois a dois. Provar que existe um polinômio de grau menor ou igual a 2 tal que: f - 1 = a ,   f 1 =   b ,   f 3 = c ,   f O =   d   se, e somente se, 3 a   +   6 b   -   c   -   8 d   =   0 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício? Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Sejam a ,   b ,   c ,   d ∈ R , 2 - 2 distintos. Vamos encontrar um polinômio   f ( t ) , ∂ f t ≤ 2 , tal que:

f - 1 = a ,   f 1 = b ,   f 3 = c ,   f 0 = d .

Os polinômios de Lagrange são:

L 0 t = ( t - 1 ) ( t - 3 ) ( t - 0 ) ( - 1 - 1 ) ( - 1 - 3 ) ( - 1 - 0 ) = - t 3 + 4 t 2 - 3 t 8

L 1 t = ( t - ( - 1 ) ) ( t - 3 ) ( t - 0 ) ( - 1 - ( - 1 ) ) ( 1 - 3 ) ( 1 - 0 ) = - t 3 + 2 t 2 + 3 t 4

L 2 t = ( t - ( - 1 ) ) ( t - 1 ) ( t - 0 ) ( 3 - ( - 1 ) ) ( 3 - 1 ) ( 3 - 0 ) = t 3 - t 2 24

L 3 t = ( t + 1 ) ( t - 1 ) ( t - 3 ) ( 0 + 1 ) ) ( - 1 ) ( - 3 ) = t 3 - 3 t 2 + 2 t 3

Passo 2

Vamos lá! Assim,

f t = a × - t 3 + 4 t 2 - 3 t 8 + b × - t 3 + 2 t 2 + 3 t 4 + c × t 3 - t 2 24 + d × t 3 - 3 t 2 + 2 t 3

⇒ f t = t 3 × - a 8 - b 4 + c 24 + d 3 + t 2 × a 2 + b 2 - c 24 - d + t × - 3 a 8 + 3 b 4 + 2 d 3

Como ∂ f t ≤ 2 , segue:

- a 8 - b 4 + c 24 + d 3 = 0   ⇒ 3 a + 6 b - c - 8 d = 0 .

Resposta

Assim, concluímos nossa demonstração.

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Verifique se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t , cos ⁡ t , sin ⁡ te mC 2 - π , π ; b ) cos ⁡ t ,1 , sin 2 ⁡ t 2e mC 2 - π , π ; c )1 ,e t + e - t ,e t - e - t e m
Mostre que as funções f 1 t = t e λ 1 t ,f 2 t = t 2 e λ t , … , f k t = t k e λ k t , onde λ ∈ R , são linearmente independentes.
Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1+ … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .
Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ; b )t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .
Verifique que as funções e t cos ⁡ 3 tee t sin ⁡ 3 t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .