Enunciado

Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

a )   t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ;

b )   t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele deseja verificar se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

a )   t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ;

b )   t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para verificarmos se o polinômio é L.D ou L.I, temos

t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7

Temos,

x 1 + 2 x 2 + x 3 t 2 + - 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 t + 3 x 1 + 8 x 2 + 7 x 3 = 0

Para todo t ∈   R

x 1 + 2 x 2 + x 3 = 0 - 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 = 0 3 x 1 + 8 x 2 + 7 x 3 = 0

1 2 1 0 - 2 1 8 0 3 8 7 0 escalonando vamos ter que,

1 0 - 3 0 0 1 2 0 0 0 0 0

Ficando,

x 3 = α ,         x 2 = - 2 α     e     x 1 = 3 α

Tendo o polinômio 3 soluções não trivial a que implica ela, sendo linearmente dependente (L.D).

Passo 3

Na letra (b) para,

t 2 - 1 , t + 1 , t + 2

x 1 t 2 - 1 + x 2 t + 1 + x 3 t + 2 = 0 ( t )

Para t ∈   R

x 1 t 2 + x 2 + x 3 t + - x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0

Ficando,

x 1 = 0 x 2 + x 3 = 0 - x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0

Para,

A = [ 1,0 , 0,0 ; 0,1 , 1,0   ;   - 1,1 , 2,0 ]

Fazendo escalonamento temos,

1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 1 2 0 →   1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 →   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Ficando,

x 1 = 1 ,   x 2 = 0 ,   x 3 = 0 , sendo linearmente independente (L.I)

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) Linearmente dependente (L.D).

b) Linearmente independente (L.I)

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