Enunciado

Sejam u → = 1 ,   1 ,   1 B e v → = 0 ,   1 ,   2 B . Obtenha uma base ortonormal positiva a → ,   b → ,   c → tal que

1.   a → e u → sejam de mesmo sentido;

2. b → seja combinação linear de u → e v → ;

3. a primeira coordenada de b → seja positiva.

Passo 1

Fala ai meu querido, para resolver essa questão vamos ter que descobrir 3 vetores, seguindo 3 condições que o exercício impôs para gente. Vambora então!

Passo 2

Vamos começar descobrindo a → que é o mais simples, já que ele possui a mesma direção que u → .  

Basta normalizar u → para encontrarmos a → . Calculando a norma de u → :

u → = 3

Portanto, para achar a → , basta dividir cada componente de u → por 3 :

a → = 1 3 , 1 3 , 1 3

Passo 2

Pelo que ele diz em 2, b → é combinação linear de u → e v → , então podemos escrever:

b → = x u → + y v → = ( x ,   x + y ,   x + 2 y )

Como ele deve ser ortogonal a a → , ele também deve ser ortogonal a u → , então fazendo o produto interno desses dois vetores ser igual a 0 (para que eles sejam ortogonais), encontramos:

x ,   x + y ,   x + 2 y ⋅ 1 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ x + x + y + x + 2 y = 0 ⇒ y = - x

Portanto podemos escrever que,

b → = ( x ,   0 ,   - x )

Agora temos que encontrar quanto vale x. Ele diz para gente que a primeira coordenada de b → deve ser positiva, temos que x > 0 . Como ele deve ter norma 1   por estarmos tratando de uma base ortonormal, podemos escrever:

b → = x . ( 1 ,   0 ,   - 1 )

b → = 1

Logo:

x 2 . 1 2 + 0 2 + - 1 2 = 1

x = 1 2

Então,

b → = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Passo 3

Por fim, como a → e b → são ortogonais e unitários, seu produto vetorial será ortogonal a ambos e também unitário, essa é a forma de obter c → . Para que a base seja positiva:

c → = a → × b → = i → j → k → 1 3 1 3 1 3 1 2 0 - 1 2

Assim,

c → = - 1 6 , 2 6 ,   - 1 6

Resposta

a → = 1 3 , 1 3 , 1 3

b → = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

c → = - 1 6 , 2 6 ,   - 1 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se VxW = VxU e V ≠ 0 → , então W = U ?
(b)Mostre que se ( AxC )xB = 0 → , então AxBxC = AxBxC , ou seja, o produto vetorial é, neste caso, associativo.
(a)Prove que AxBxC + BxCxA + CxAxB = 0 ; Sugestão: Use o exercício anterior.
Sejam U = u 1 , u 2 , u 3 ,V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = w 1 , w 2 , w 3 . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo UxVxW = U . W V - U . V W (b)Prove usando o item anterior e as proprie
Sejam U = u 1 , u 2 , u 3 ,V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = w 1 , w 2 , w 3 . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo UxVxW = U . W V - U . V W (a)Prove que Uxi →xj → = U . j → i → - U . i