Enunciado

O lado do hexágono regular representado na Figura 11-3 mede 2 . Calcule:

a) A B → ∧ A F → b) A B → ∧ A C → c) A B → ∧ A D →

d) A B → ∧ A E → e) A D → ∧ B E →

Passo 1

O exercício quer que calculemos a norma dos produtos vetorias. Para isso, temos que lembrar

u → ∧ v → = u → v →   s e n   θ

No item (a), temos

O ângulo entre os vetores é θ = 120 ° . Assim, como A B → = A F → = 2 :

A B → ∧ A F → = 2 ⋅ 2 ⋅ s e n   120 ° = 2 3

Passo 2

Já no item (b), queremos A B → ∧ A C → :

O ângulo entre eles é θ = 30 ° . Olhando para o triângulo retângulo:

cos ⁡ 30 ° = A X → A B → ⇒ 3 2 = A X → 2 ⇒ A X → = 3 ⇒ A C → = 2 3

Com isso,

A B → ∧ A C → = 2 ⋅ 2 3 ⋅ s e n   30 ° = 2 3

Passo 3

No item (c), temos A B → ∧ A D → :

Imaginando o hexágono como vários triângulos equiláteros juntos, temos θ = 60 ° e A D → = 2 A B → = 4 . Assim,

  A B → ∧ A D → = 2 ⋅ 4 ⋅ s e n   60 ° = 4 3

Passo 4

No item (d), temos A B → ∧ A E → :

Como os vetores são perpendiculares e A E → = A C → = 2 3

A B → ∧ A E → = 2 ⋅ 2 3 ⋅ s e n   90 ° = 4 3

Passo 5

Por fim, no item (e), temos A D → ∧ B E → :

Sabemos que A D → = B E → = 4 e θ = 60 ° :

A D → ∧ B E → = 4 ⋅ 4 ⋅ s e n   60 ° = 8 3

Resposta

2 3

2 3

4 3

4 3

8 3

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Dados a → = ( 3 , - 1,2 ) e b → = 2,3 , 0 , determine um vetor v → tal que v → . a → = - 2 e v → ^ b → = ( 3 , - 2 , - 3 )
Sendo O P → = ( 2,1 , 2 ) e O Q → = 1,1 , 1 , calcule a distância de P à reta O Q , d eQàr e t aO P à e de O à reta P Q .
Sejam O A → = 0,3 , 2 , O B → = 1 , 5 , 1 e O C → = 1 , 2 , - 1 . (a) Demonstre que o quadrilátero de vértices O , A , BeC é um paralelogramo.
Os vetores u → , 1 , 0 , 2 e ( 4,3 , - 1 ) são coplanares. Determine x para que a equação ( 1,0 , 3 ) ^ u → = x , 1,3 tenha solução. Resolva a equação.
Sabemos que u → = a → + b → , v → = a → - b → , a → = 2 , b → = 3 , o ângulo entre a → e b → mede 60 ° , a → = O A → e b → = O B → . Que relação existe entre u → ^ v → e a área do triângulo O A B ? De