Enunciado

Sejam f ( t )   =   ( t   -   1 ) ( t   -   2 ) ( t   -   3 ) e

a) Provar que f ( A )   =   0 ;

b) Sejam L 1   ( t ) ,   L 2   ( t ) e L 3   ( t ) os polinômios de Lagrange correspondentes a ( 1 ,   2 ,   3 ) (ver exercício 1 ) e sejam as matrizes E i   =   L i   ( A )   ( i   =   1 ,   2 ,   3 ) . Calcular   E 1 , E 2 , E 3 ;

c) Provar que E 1   +   E 2   +   E 3   =   4 , e E i E j   =   o se i   ≠   j ;

d) Mostrar que A   =   E 1   +   2 E 2   +   3 E 3 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Sejam f t = t - 1 × t - 2 × ( t - 3 ) e A a matriz definida por:

A = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1

Vamos fazer o que se pede ok?

Passo 2

Vamos lá! Calculando f A , temos:

f A = A - I × A - 2 × I × A - 3 × I ,

Onde I é a matriz identidade, certo?

Assim, calculando as parcelas separadas:

A - I = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0

A - 2 × I = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1

A - 3 × I = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 - 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 = - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2

Passo 3

Vamos lá! Daí,

f A = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 × 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 × - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2 = 0 .

Resposta

Concluímos o que queríamos mostrar.

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Mostre que as funções f 1 t = t e λ 1 t ,f 2 t = t 2 e λ t , … , f k t = t k e λ k t , onde λ ∈ R , são linearmente independentes.
Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1+ … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .
Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ; b )t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .
Verifique que as funções e t cos ⁡ 3 tee t sin ⁡ 3 t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .
Suponha que S = X 1 , X 2 , X 3 seja um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial V. Responda se T = { Y 1 , Y 2 , Y 3 } e linearmente dependente ou independente nos seguintes