Enunciado

Sejam f ( t )   =   ( t   -   1 ) ( t   -   2 ) ( t   -   3 ) e

a) Provar que f ( A )   =   0 ;

b) Sejam L 1   ( t ) ,   L 2   ( t ) e L 3   ( t ) os polinômios de Lagrange correspondentes a ( 1 ,   2 ,   3 ) (ver exercício 1 ) e sejam as matrizes E i   =   L i   ( A )   ( i   =   1 ,   2 ,   3 ) . Calcular   E 1 , E 2 , E 3 ;

c) Provar que E 1   +   E 2   +   E 3   =   4 , e E i E j   =   o se i   ≠   j ;

d) Mostrar que A   =   E 1   +   2 E 2   +   3 E 3 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Sejam f t = t - 1 × t - 2 × ( t - 3 ) e A a matriz definida por:

A = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1

Vamos fazer o que se pede ok?

Passo 2

Vamos lá! Do exercício 1 b ) temos que:

L 1 t = t 2 - 5 t + 6 2

L 2 t = - t 2 + 4 t - 3

L 3 t = t 2 - 3 t + 2 2

Sejam E i = L i A ,   i = 1 ,   2,3 matrizes nas quais iremos calcular uma a uma.

E 1 = 1 2 × A 2 - 5 2 × A + 3 × I

= 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 9 / 2 0 0 0 0 1 / 2 + - 5 0 0 0 0 - 5 0 0 0 0 - 15 / 2 0 0 0 0 - 5 / 2 + 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Passo 3

Vamos lá! Agora, calculando E 2 e E 3 :

E 2 = - A 2 + 4 A - 3 I

= - 4 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 9 0 0 0 0 - 1 + 8 0 0 0 0 8 0 0 0 0 12 0 0 0 0 4 + - 3 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 - 3

= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

E 3 = A 2 2 - 3 2 × A + I

= 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 9 / 2 0 0 0 0 1 / 2 + - 3 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 - 9 / 2 0 0 0 0 - 3 / 2 + 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Resposta

E, assim, encontramos as matrizes E i .

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Sejam f ( t )=( t-1 ) ( t-2 ) ( t-3 ) ea) Provar que f ( A )=0 ;b) Sejam L 1( t ) ,L 2( t ) e L 3( t ) os polinômios de Lagrange correspondentes a ( 1 ,2 ,3 ) (ver exercício 1 ) e sejam as matrizes E