Enunciado

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desse livro

Seja ( t 0 ,   t 1 , … ,   t n ) uma sequência de números reais dois a dois distintos e s 0 ,   s 1 , … ,   s n )   uma seqüência qualquer de números reais. Provar que existe um, e apenas um polinômio f ( t ) , tal que f t i = s j .  

Sugestão: use os polinômios de Lagrange.

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Dada a sequência ( t 0 , t 1 ,   ⋯ , t n ) de números reais, e ainda, 2 - 2 distintos, certo?

Seja f ( t ) um polinômio tal que ∂ f t ≤ n .

Passo 2

Vamos lá! Sejam s i as constantes tais que f t i = s i ,   i = 0 ,   ⋯ ,   n .

Por definição, sabemos que:

f t = f t 0 × L 0 t + f t 1 × L 1 t + ⋯ + f t n × L n t .

Como   { L 0 t , L 1 t , ⋯ ,   L n t } é uma base de P n , então f t é uma combinação linear desta base, portanto, f ( t ) é único. E ainda,

f t = s 0 × L 0 t + s 1 × L 1 t + ⋯ + s n × L n t .

Resposta

E, assim, concluímos a prova.

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