Enunciado

Sejam a reta r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores V 1 = ( 1 ,   2 ,   0 ) e V 2 = ( 1 ,   0 ,   1 ) passando pela origem. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m encontrado, a reta está contida no plano?

Passo 1

Vamos lá para maaais uma resolução??

Bom, primeiro devemos saber que o vetor relacionado à reta dado (o vetor diretor da reta) é

W = (2, m, 1)

Assim, nós queremos que os vetores V’s sejam linearmente dependentes do vetor W, para que possamos determinar o valor de m pedido no exercício.

Passo 2

Para isso, devemos montar uma matriz com os vetores que temos e vamos, então, realizar o cálculo de seu determinante:

det ⁡ 2 m 1 1 2 0 1 0 1

det = 4 + 0 + 0 – 2 – m – 0

det = 2 – m

Igualando o determinante a zero para encontrarmos o m desejado:

2 – m = 0

m = 2

Passo 3

Para descobrirmos se a reta está contida no plano, vamos utilizar um ponto inicial da reta r, P = (1, 1, 1). Para transformarmos esse ponto em vetor, podemos utilizar a origem, de forma que:

O P → = ( 1 ,   1 ,   1 )

Realizando o cálculo do determinante de uma matriz formada pelo vetor O P → e pelos vetores V’s, temos:

det ⁡ 1 1 1 1 2 0 1 0 1

A reta só está inclusa no plano caso os vetores sejam linearmente dependentes, ou seja, se o resultado do determinante for 0.

det ⁡ 1 1 1 1 2 0 1 0 1 = 2 + 0 + 0 - 2 - 1 - 0 =   - 1

Como - 1 ≠ 0 , a reta não está contida no plano.

Resposta

m = 2.

A reta não está contida no plano.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja u → , v → , w → vetores qualquer de R 2 . Prove que se u →ev → forem lineamente independentes, então existirão( e serão únicos) reais α e β tais que w → = α u → + β v →
Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais do R 2 . Prove que u → e v → são linearmente independentes.
Prove que quaisquer que sejam vec u e vec v em R^3 ||vec u ^ vec v|| = ||vec u|| ||vec v||
Sejam u → , v → e w → três vetores unitários quaisquer de R 3 , sendo dois a dois ortogonais. Prove que para todo r → do R 3 tem-se: r → = r → ∙ u → u → + r → ∙ v → v → + r → ∙ w → w →
Sejam u → , v → e w → vetores do R 3 . Dizemos que u → , v → e w → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α ,β e γ , se α u → + β v → + γ w → = 0 → , então α = β = γ = 0 . Prov